Giải bài tập

Câu 1: a) $\sqrt{3x^2+5x-13}=x+1$ Điều kiện: $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ Bình phương hai vế ta có: \[ 3x^2 + 5x - 13 = (x + 1)^2 \] \[ 3x^2 + 5x - 13 = x^2 + 2x + 1 \] Rearrange the equation: \[ 3x^2 + 5x - 13 - x^2 - 2x - 1 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 14 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 2$, $b = 3$, $c = -14$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm 11}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \] Kiểm tra điều kiện $x \geq -1$: - $x = 2$ thỏa mãn điều kiện. - $x = -\frac{7}{2}$ không thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$. b) $\sqrt{2x-3}=x-3$ Điều kiện: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ Bình phương hai vế ta có: \[ 2x - 3 = (x - 3)^2 \] \[ 2x - 3 = x^2 - 6x + 9 \] Rearrange the equation: \[ 2x - 3 - x^2 + 6x - 9 = 0 \] \[ -x^2 + 8x - 12 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Kiểm tra điều kiện $x \geq 3$: - $x = 6$ thỏa mãn điều kiện. - $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6$. Đáp số: a) $x = 2$ b) $x = 6$ Câu 2: Để khai triển các biểu thức $(x + 3)^4$ và $(3 - 2x)^5$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. a) Khai triển $(x + 3)^4$ Công thức nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng công thức này cho $(x + 3)^4$ với $a = x$, $b = 3$, và $n = 4$: \[ (x + 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 3^k \] Ta tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{4}{0} x^{4-0} 3^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4$ - Khi $k = 1$: $\binom{4}{1} x^{4-1} 3^1 = 4 \cdot x^3 \cdot 3 = 12x^3$ - Khi $k = 2$: $\binom{4}{2} x^{4-2} 3^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 9 = 54x^2$ - Khi $k = 3$: $\binom{4}{3} x^{4-3} 3^3 = 4 \cdot x \cdot 27 = 108x$ - Khi $k = 4$: $\binom{4}{4} x^{4-4} 3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81 = 81$ Vậy khai triển của $(x + 3)^4$ là: \[ (x + 3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81 \] b) Khai triển $(3 - 2x)^5$ Công thức nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng công thức này cho $(3 - 2x)^5$ với $a = 3$, $b = -2x$, và $n = 5$: \[ (3 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 3^{5-k} (-2x)^k \] Ta tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{5}{0} 3^{5-0} (-2x)^0 = 1 \cdot 3^5 \cdot 1 = 243$ - Khi $k = 1$: $\binom{5}{1} 3^{5-1} (-2x)^1 = 5 \cdot 3^4 \cdot (-2x) = 5 \cdot 81 \cdot (-2x) = -810x$ - Khi $k = 2$: $\binom{5}{2} 3^{5-2} (-2x)^2 = 10 \cdot 3^3 \cdot (4x^2) = 10 \cdot 27 \cdot 4x^2 = 1080x^2$ - Khi $k = 3$: $\binom{5}{3} 3^{5-3} (-2x)^3 = 10 \cdot 3^2 \cdot (-8x^3) = 10 \cdot 9 \cdot (-8x^3) = -720x^3$ - Khi $k = 4$: $\binom{5}{4} 3^{5-4} (-2x)^4 = 5 \cdot 3 \cdot (16x^4) = 5 \cdot 3 \cdot 16x^4 = 240x^4$ - Khi $k = 5$: $\binom{5}{5} 3^{5-5} (-2x)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-32x^5) = -32x^5$ Vậy khai triển của $(3 - 2x)^5$ là: \[ (3 - 2x)^5 = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5 \] Đáp số: a) $(x + 3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$ b) $(3 - 2x)^5 = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5$ Câu 3: a) Ta có: - Điểm A(5;3) thuộc đường thẳng d. - Điểm B(6;3) cũng thuộc đường thẳng d. Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax + b. Ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình: \[ 3 = 5a + b \quad \text{(1)} \] Ta thay tọa độ của điểm B vào phương trình: \[ 3 = 6a + b \quad \text{(2)} \] Từ (1) và (2), ta thấy rằng: \[ 5a + b = 6a + b \] \[ 5a = 6a \] \[ a = 0 \] Thay \( a = 0 \) vào (1): \[ 3 = 5 \cdot 0 + b \] \[ b = 3 \] Vậy phương trình đường thẳng d là: \[ y = 3 \] b) Ta có: - Điểm M(-4;2) thuộc đường thẳng d. - Điểm N(3;-1) cũng thuộc đường thẳng d. Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và N có dạng y = ax + b. Ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình: \[ 2 = -4a + b \quad \text{(1)} \] Ta thay tọa độ của điểm N vào phương trình: \[ -1 = 3a + b \quad \text{(2)} \] Lấy (1) trừ (2): \[ 2 - (-1) = -4a - 3a \] \[ 3 = -7a \] \[ a = -\frac{3}{7} \] Thay \( a = -\frac{3}{7} \) vào (1): \[ 2 = -4 \left( -\frac{3}{7} \right) + b \] \[ 2 = \frac{12}{7} + b \] \[ b = 2 - \frac{12}{7} \] \[ b = \frac{14}{7} - \frac{12}{7} \] \[ b = \frac{2}{7} \] Vậy phương trình đường thẳng d là: \[ y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7} \]