Giúp mình với!

Bài IV: 1) a/ Độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vành chiếc nón lá là chu vi của đáy nón. Ta có: \[ d = 40 \text{ cm} \] \[ r = \frac{d}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm} \] Chu vi của đáy nón là: \[ C = 2 \pi r = 2 \times 3,14 \times 20 = 125,6 \text{ cm} \] b/ Diện tích phần lá phủ xung quanh của chiếc nón lá là diện tích xung quanh của nón. Ta có: \[ h = 19 \text{ cm} \] \[ r = 20 \text{ cm} \] Độ dài đường sinh của nón là: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{20^2 + 19^2} = \sqrt{400 + 361} = \sqrt{761} \approx 27,59 \text{ cm} \] Diện tích xung quanh của nón là: \[ S_{xq} = \pi r l = 3,14 \times 20 \times 27,59 \approx 1734,31 \text{ cm}^2 \] 2) a/ Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp. - Ta có $\angle BEC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - $\angle BDC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó, $\angle BEC + \angle BDC = 180^\circ$. Vì vậy, tứ giác AEHD nội tiếp. b/ Chứng minh $AB.BE = BI.BC$, từ đó suy ra $AB.BE + AC.CD = BC^2$. - Ta có $\angle BAE = \angle BCI$ (cùng bù với $\angle BAI$). - $\angle ABE = \angle CBI$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Do đó, $\triangle ABE \sim \triangle CBI$ (góc-góc). Từ đó ta có: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{BE}{BI} \] \[ AB.BE = BI.BC \] Tương tự, ta có: \[ AC.CD = CI.CB \] Cộng hai đẳng thức trên lại, ta được: \[ AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.CB = BC(BI + CI) = BC^2 \] c/ Chứng minh $IN = IM$. - Ta có $MN \parallel DE$. - $\angle INM = \angle IDE$ (góc đồng vị). - $\angle IMN = \angle IED$ (góc đồng vị). Do đó, $\triangle INM \cong \triangle IDE$ (góc-góc). Từ đó ta có: \[ IN = IM \] Bài V: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài cạnh của hình vuông ABCD: Diện tích hình vuông ABCD là 2025. Do đó, độ dài cạnh của hình vuông là: \[ a = \sqrt{2025} = 45 \text{ cm} \] 2. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD: Giả sử hình vuông ABCD nằm trong hệ tọa độ Oxy với A(0, 0), B(45, 0), C(45, 45), D(0, 45). 3. Xác định tọa độ của điểm M trên đường chéo AC: Đường chéo AC có phương trình là \(y = x\). Do đó, tọa độ của điểm M là \(M(x, x)\) với \(0 \leq x \leq 45\). 4. Xác định tọa độ của các điểm E và F: - Điểm E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống cạnh AB, do đó tọa độ của E là \(E(x, 0)\). - Điểm F là chân đường vuông góc hạ từ M xuống cạnh BC, do đó tọa độ của F là \(F(45, x)\). 5. Tính diện tích tam giác DEF: Diện tích tam giác DEF có thể tính bằng công thức: \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Thay tọa độ của D(0, 45), E(x, 0), F(45, x) vào công thức: \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - x) + x(x - 45) + 45(45 - 0) \right| \] \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \left| x^2 - 45x + 2025 \right| \] \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \left( x^2 - 45x + 2025 \right) \] 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác DEF: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(S_{DEF}\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 - 45x + 2025\). Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 - 45x + 2025 = \left( x - \frac{45}{2} \right)^2 + 2025 - \left( \frac{45}{2} \right)^2 \] \[ x^2 - 45x + 2025 = \left( x - \frac{45}{2} \right)^2 + 2025 - \frac{2025}{4} \] \[ x^2 - 45x + 2025 = \left( x - \frac{45}{2} \right)^2 + \frac{4050}{4} \] \[ x^2 - 45x + 2025 = \left( x - \frac{45}{2} \right)^2 + 1012.5 \] Biểu thức \((x - \frac{45}{2})^2\) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{45}{2}\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(x^2 - 45x + 2025\) là 1012.5. 7. Diện tích nhỏ nhất của tam giác DEF: \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \times 1012.5 = 506.25 \text{ cm}^2 \] 8. Vị trí của điểm M: Điểm M đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{45}{2} = 22.5\). Do đó, tọa độ của điểm M là \(M(22.5, 22.5)\). Đáp số: Diện tích nhỏ nhất của tam giác DEF là 506.25 cm², đạt được khi điểm M có tọa độ \(M(22.5, 22.5)\).