giupa câu trong ảnh Bài 5: Cho các biểu thức: $A=\frac{x-4}{\sqrt x-2}$ và $B=\frac2{\sqrt x-2}+\frac3{\sqrt x+2}-\frac{x-5\sqrt x+2}{4-x}$ với $x\geq0;x
e4$,a) Tính giá trị của A khi $x=49$,D. Rút gọn B,c) Với $x4,$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=A.B$

Question

giupa câu trong ảnh Bài 5: Cho các biểu thức: $A=\frac{x-4}{\sqrt x-2}$ và $B=\frac2{\sqrt x-2}+\frac3{\sqrt x+2}-\frac{x-5\sqrt x+2}{4-x}$ với $x\geq0;x
e4$,a) Tính giá trị của A khi $x=49$,D. Rút gọn B,c) Với $x>4,$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=A.B$

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5296830,"userName":"Plll"}

a, $$A=\frac{x-4}{\sqrt x-2}$$

$$A=\frac{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{\sqrt x-2} = \sqrt x+2$$

Thay $x=49$ vào biểu thức trên, ta được:

$$A = \sqrt{49} + 2$$

$$A = 7 + 2$$

$$A = 9$$

b, Ta có: $$B=\frac2{\sqrt x-2}+\frac3{\sqrt x+2}-\frac{x-5\sqrt x+2}{4-x}$$

$$B=\frac2{\sqrt x-2}+\frac3{\sqrt x+2}+\frac{x-5\sqrt x+2}{x-4}$$

$$B=\frac{2(\sqrt x+2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}+\frac{3(\sqrt x-2)}{(\sqrt x+2)(\sqrt x-2)}+\frac{x-5\sqrt x+2}{x-4}$$

$$B=\frac{2\sqrt x+4}{x-4}+\frac{3\sqrt x-6}{x-4}+\frac{x-5\sqrt x+2}{x-4}$$

$$B=\frac{(2\sqrt x+4) + (3\sqrt x-6) + (x-5\sqrt x+2)}{x-4}$$

$$B=\frac{x + (2\sqrt x + 3\sqrt x - 5\sqrt x) + (4 - 6 + 2)}{x-4}$$

$$B=\frac{x + 0\sqrt x + 0}{x-4}$$

$$B=\frac{x}{x-4}$$

c, Ta có: $$P = A \cdot B = (\sqrt x+2) \cdot \frac{x}{x-4}$$

$$P = (\sqrt x+2) \cdot \frac{x}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}$$

$$P = \frac{x}{\sqrt x-2}$$

Đặt $y = \sqrt x-2$. Vì $x>4$ nên $\sqrt x>2$, suy ra $y>0$.

Ta có $\sqrt x = y+2$, và $x = (y+2)^2 = y^2+4y+4$.

Thay vào biểu thức $P$, ta được:

$$P = \frac{y^2+4y+4}{y}$$

$$P = \frac{y^2}{y} + \frac{4y}{y} + \frac{4}{y}$$

$$P = y + 4 + \frac{4}{y}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương $y$ và $\frac{4}{y}$, ta được:

$$y + \frac{4}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{4}{y}}$$

$$y + \frac{4}{y} \ge 2\sqrt 4$$

$$y + \frac{4}{y} \ge 2 \cdot 2$$

$$y + \frac{4}{y} \ge 4$$

$$P = y + 4 + \frac{4}{y} \ge 4 + 4$$

$$P \ge 8$$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: $$y = \frac{4}{y}$$

$$y^2 = 4$$. Vì $y>0$, ta chọn $y=2$.

Thay $y= 2$ trở lại biến $x$, ta được:

$$y = \sqrt x - 2$$

$$2 = \sqrt x - 2$$

$$\sqrt x = 4$$

$$x = 16$$ (TMĐK)

Vậy, với $x>4$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là 8, đạt được khi $x=16$.

Timi · Answer

Bài 5:
Điều kiện xác định: $ x \geq 0; x \neq 4 $

a) Tính giá trị của A khi $ x = 49 $:

$ A = \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} $

Thay $ x = 49 $ vào biểu thức A:

$ A = \frac{49 - 4}{\sqrt{49} - 2} = \frac{45}{7 - 2} = \frac{45}{5} = 9 $

Vậy giá trị của A khi $ x = 49 $ là 9.

b) Rút gọn B:

$ B = \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3}{\sqrt{x} + 2} - \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{4 - x} $

Nhân tử chung của các phân số đầu tiên là $ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) $:

$ B = \frac{2(\sqrt{x} + 2) + 3(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{4 - x} $

$ B = \frac{2\sqrt{x} + 4 + 3\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{4 - x} $

$ B = \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{4 - x} $

Biến đổi phân số cuối cùng:

$ B = \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{(4 - x)} $

$ B = \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{x - 5\sqrt{x} + 2}{-(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $

$ B = \frac{5\sqrt{x} - 2 - (x - 5\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $

$ B = \frac{5\sqrt{x} - 2 - x + 5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $

$ B = \frac{10\sqrt{x} - x - 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $

c) Với $ x > 4 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = A \cdot B $:

$ P = A \cdot B = \left( \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \left( \frac{10\sqrt{x} - x - 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \right) $

$ P = \frac{(x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4)}{(\sqrt{x} - 2)^2(\sqrt{x} + 2)} $

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tử số:

$ (x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4) $

Ta có:

$ (x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4) = (x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4) $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$ (x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4) \geq \left( \sqrt{(x - 4)(10\sqrt{x} - x - 4)} \right)^2 $

Dấu bằng xảy ra khi:

$ x - 4 = 10\sqrt{x} - x - 4 $

$ 2x = 10\sqrt{x} $

$ x = 5\sqrt{x} $

$ x^2 = 25x $

$ x(x - 25) = 0 $

$ x = 0 $ hoặc $ x = 25 $

Do $ x > 4 $, nên $ x = 25 $.

Thay $ x = 25 $ vào biểu thức P:

$ P = \frac{(25 - 4)(10\sqrt{25} - 25 - 4)}{(\sqrt{25} - 2)^2(\sqrt{25} + 2)} $

$ P = \frac{21(50 - 25 - 4)}{3^2 \cdot 7} $

$ P = \frac{21 \cdot 21}{9 \cdot 7} $

$ P = \frac{441}{63} $

$ P = 7 $

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = A \cdot B $ là 7, đạt được khi $ x = 25 $.