Giúp mình với!

Câu 1: Để giải phương trình $(x-1)(x-7)-5\sqrt{x^2-8x+3}+2=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ x^2 - 8x + 3 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình \( x^2 - 8x + 3 \geq 0 \) Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - 8x + 3 = 0 \): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 4 \pm \sqrt{13} \] Do đó, nghiệm của phương trình là \( x = 4 + \sqrt{13} \) và \( x = 4 - \sqrt{13} \). Biểu thức \( x^2 - 8x + 3 \) là một parabol mở lên, do đó nó sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 ở hai khoảng: \[ x \leq 4 - \sqrt{13} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 4 + \sqrt{13} \] Bước 3: Thay biểu thức vào phương trình ban đầu \[ (x-1)(x-7) - 5\sqrt{x^2-8x+3} + 2 = 0 \] Bước 4: Đặt \( t = \sqrt{x^2 - 8x + 3} \), ta có: \[ t^2 = x^2 - 8x + 3 \] \[ (x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7 \] Thay vào phương trình: \[ x^2 - 8x + 7 - 5t + 2 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 9 - 5t = 0 \] Bước 5: Thay \( t^2 = x^2 - 8x + 3 \) vào phương trình: \[ t^2 + 6 - 5t = 0 \] \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \] Bước 6: Giải phương trình bậc hai \( t^2 - 5t + 6 = 0 \): \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] Bước 7: Tìm giá trị của \( x \) từ \( t = 3 \) và \( t = 2 \) - Với \( t = 3 \): \[ \sqrt{x^2 - 8x + 3} = 3 \] \[ x^2 - 8x + 3 = 9 \] \[ x^2 - 8x - 6 = 0 \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{22}}{2} = 4 \pm \sqrt{22} \] Kiểm tra điều kiện \( x \leq 4 - \sqrt{13} \) hoặc \( x \geq 4 + \sqrt{13} \): \[ 4 - \sqrt{22} < 4 - \sqrt{13} \quad \text{(loại)} \] \[ 4 + \sqrt{22} > 4 + \sqrt{13} \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Với \( t = 2 \): \[ \sqrt{x^2 - 8x + 3} = 2 \] \[ x^2 - 8x + 3 = 4 \] \[ x^2 - 8x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 4 \pm \sqrt{17} \] Kiểm tra điều kiện \( x \leq 4 - \sqrt{13} \) hoặc \( x \geq 4 + \sqrt{13} \): \[ 4 - \sqrt{17} < 4 - \sqrt{13} \quad \text{(loại)} \] \[ 4 + \sqrt{17} > 4 + \sqrt{13} \quad \text{(thỏa mãn)} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 4 + \sqrt{22} \quad \text{hoặc} \quad x = 4 + \sqrt{17} \] Câu 2: Trước tiên, ta nhận thấy rằng mặt cắt ngang của chiếc đèn có dạng một hình parabol. Để viết phương trình chính tắc của parabol này, ta cần xác định các thông số liên quan. 1. Xác định đỉnh và trục đối xứng của parabol: - Đỉnh của parabol là điểm O, nằm ở giữa hai mép vành AB. - Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh O và vuông góc với đoạn thẳng AB. 2. Xác định các thông số của parabol: - Chiều rộng giữa hai mép vành là \( AB = 40 \, \text{cm} \). Do đó, khoảng cách từ đỉnh O đến mỗi mép vành là \( \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, \text{cm} \). - Chiều sâu của parabol là \( h = 30 \, \text{cm} \). 3. Viết phương trình chính tắc của parabol: - Phương trình chính tắc của một parabol có đỉnh tại gốc tọa độ và trục đối xứng là trục y có dạng: \( x^2 = 4py \), trong đó \( p \) là khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm. 4. Xác định giá trị của \( p \): - Ta biết rằng điểm A hoặc B nằm trên parabol và có tọa độ \( (20, 30) \) hoặc \( (-20, 30) \). - Thay tọa độ của điểm A vào phương trình \( x^2 = 4py \): \[ 20^2 = 4p \cdot 30 \] \[ 400 = 120p \] \[ p = \frac{400}{120} = \frac{10}{3} \] 5. Viết phương trình chính tắc của parabol: - Thay giá trị của \( p \) vào phương trình \( x^2 = 4py \): \[ x^2 = 4 \left( \frac{10}{3} \right) y \] \[ x^2 = \frac{40}{3} y \] Vậy phương trình chính tắc của parabol là: \[ x^2 = \frac{40}{3} y \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tính xác suất và tổ hợp. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 học sinh từ 22 học sinh. Số cách chọn 3 học sinh từ 22 học sinh là: \[ C_{22}^3 = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 1540 \] Bước 2: Tính số cách chọn 3 học sinh đều là nam. Số cách chọn 3 học sinh nam từ 15 học sinh nam là: \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \] Bước 3: Tính số cách chọn 3 học sinh có ít nhất một nữ. Số cách chọn 3 học sinh có ít nhất một nữ là: \[ 1540 - 455 = 1085 \] Vậy, cô giáo có 1085 cách để chọn 3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ. Đáp số: 1085 cách