PHẦN 2: Trắc nghiệm “đúng –sai”. (Mỗi ý trả lời đúng học sinh được 0,25 điểm) Câu 1. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Hàm số đồng biến trên . b)Số giao điểm của Parabol và đường thẳng là 2. c) Cho tam...

Câu 1. a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Đúng. Vì hàm số $f(x) = ax + b$ với $a > 0$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Số giao điểm của Parabol và đường thẳng là 2. - Sai. Số giao điểm của parabol và đường thẳng phụ thuộc vào phương trình bậc hai liên quan. Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt thì có 2 giao điểm, nếu có một nghiệm kép thì có 1 giao điểm, và nếu vô nghiệm thì không có giao điểm nào. c) Cho tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ khi đó với mọi $x$. - Sai. Điều này chỉ đúng nếu $a > 0$ và tam thức không có nghiệm, tức là $b^2 - 4ac < 0$. Nếu $a < 0$ hoặc tam thức có nghiệm thì không đúng. d) Khi $a > 0$ thì bất phương trình $ax^2 + bx + c > 0$. - Sai. Bất phương trình $ax^2 + bx + c > 0$ đúng với mọi $x$ chỉ khi $a > 0$ và tam thức không có nghiệm, tức là $b^2 - 4ac < 0$. Nếu $a > 0$ nhưng tam thức có nghiệm thì bất phương trình không đúng với mọi $x$. Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1, 2)$ - Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ là $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$. - Nếu hai điểm $A$ và $B$ có tọa độ $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ thì vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm này là $\vec{u} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$. - Nếu $\vec{u} = (1, 2)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, thì đường thẳng này có dạng $y = 2x + c$ (với $c$ là hằng số). Mệnh đề này đúng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng là $(1, 2)$. b) Phương trình tổng quát của đường thẳng là $2x - y + 3 = 0$ - Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax + by + c = 0$. - Để kiểm tra phương trình tổng quát của đường thẳng, ta cần biết tọa độ của hai điểm trên đường thẳng hoặc một điểm và vectơ chỉ phương. - Nếu ta biết vectơ chỉ phương là $(1, 2)$, thì phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng $y = 2x + c$. Ta cần biết thêm thông tin về một điểm trên đường thẳng để xác định $c$. Mệnh đề này đúng nếu phương trình tổng quát của đường thẳng là $2x - y + 3 = 0$. c) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng bằng $\frac{|2x_B - y_B + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$ - Khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] - Ở đây, đường thẳng có phương trình $2x - y + 3 = 0$, nên $a = 2$, $b = -1$, và $c = 3$. - Khoảng cách từ điểm $B(x_B, y_B)$ đến đường thẳng là: \[ d = \frac{|2x_B - y_B + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x_B - y_B + 3|}{\sqrt{5}} \] Mệnh đề này đúng nếu khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng là $\frac{|2x_B - y_B + 3|}{\sqrt{5}}$. d) Đường tròn tâm và đi qua có phương trình là $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ - Phương trình đường tròn tâm $(x_0, y_0)$ và bán kính $r$ là $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. - Để xác định phương trình đường tròn, ta cần biết tọa độ tâm $(x_0, y_0)$ và bán kính $r$. Mệnh đề này đúng nếu ta biết tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng là $(1, 2)$. - Mệnh đề b) đúng nếu phương trình tổng quát của đường thẳng là $2x - y + 3 = 0$. - Mệnh đề c) đúng nếu khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng là $\frac{|2x_B - y_B + 3|}{\sqrt{5}}$. - Mệnh đề d) đúng nếu ta biết tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. Câu 1. Để tính tổng các nghiệm của phương trình, chúng ta cần biết phương trình cụ thể là gì. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp phương trình, tôi sẽ giả sử một phương trình mẫu và giải thích cách tính tổng các nghiệm. Giả sử phương trình là: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Bước 1: Xác định phương trình đã cho. Phương trình: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Nghiệm của phương trình này được tính bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): - \( a = 1 \) - \( b = -5 \) - \( c = 6 \) Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{2} \] Bước 3: Tính các nghiệm cụ thể. \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Bước 4: Tính tổng các nghiệm. Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là \( -\frac{b}{a} \). Trong phương trình \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): \[ \text{Tổng các nghiệm} = -\frac{-5}{1} = 5 \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) là 5. Đáp số: Tổng các nghiệm là 5. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xác định từng chữ số của số bốn chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và số đó là số chẵn. 1. Chữ số hàng đơn vị: Vì số phải là số chẵn, nên chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số 0, 2, 4, 6, 8. Ta sẽ xét từng trường hợp: - Nếu chữ số hàng đơn vị là 0, thì ta có 9 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (khác 0), 8 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (khác chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị), và 7 lựa chọn cho chữ số hàng chục (khác chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị). Tổng cộng có \(9 \times 8 \times 7 = 504\) số. - Nếu chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 hoặc 8, thì ta có 8 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (khác 0 và hàng đơn vị), 8 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (khác chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị), và 7 lựa chọn cho chữ số hàng chục (khác chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị). Tổng cộng có \(8 \times 8 \times 7 = 448\) số cho mỗi trường hợp. Vì có 4 trường hợp (2, 4, 6, 8), nên tổng cộng có \(4 \times 448 = 1792\) số. 2. Tổng số các số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau: - Tổng cộng có \(504 + 1792 = 2296\) số. Vậy có tất cả 2296 số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số. Câu 3. Để tính tổng các hệ số trong khai triển của một đa thức, ta có thể thay \( x = 1 \) vào đa thức đó. Kết quả sau khi thay sẽ là tổng các hệ số của đa thức. Giả sử đa thức cần khai triển là \( P(x) \). Bước 1: Thay \( x = 1 \) vào đa thức \( P(x) \). Bước 2: Tính giá trị của đa thức tại \( x = 1 \). Kết quả này chính là tổng các hệ số của đa thức. Ví dụ cụ thể: Giả sử đa thức cần khai triển là \( P(x) = 3x^2 + 2x + 1 \). Bước 1: Thay \( x = 1 \) vào đa thức \( P(x) \): \[ P(1) = 3(1)^2 + 2(1) + 1 \] Bước 2: Tính giá trị của đa thức tại \( x = 1 \): \[ P(1) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 \] Vậy tổng các hệ số của đa thức \( P(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) là 6. Đáp số: 6 Lưu ý rằng phương pháp này áp dụng cho mọi đa thức, không phụ thuộc vào bậc của đa thức. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đếm và tính xác suất. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra. - Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. - Số cách chọn 3 tấm thẻ từ 40 tấm thẻ là: \[ C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \] Bước 2: Xác định các trường hợp thuận lợi. - Để tổng của 3 số chia hết cho 3, ta cần xem xét các trường hợp sau: - Tất cả 3 số đều chia hết cho 3. - 1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1, 1 số chia cho 3 dư 2. Bước 3: Đếm số cách chọn các trường hợp thuận lợi. - Số các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 3, 6, 9, ..., 39. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia hết cho 3 là: \[ \frac{39 - 3}{3} + 1 = 13 \] - Số cách chọn 3 số từ 13 số chia hết cho 3 là: \[ C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \] - Số các số chia cho 3 dư 1 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 1, 4, 7, ..., 37. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia cho 3 dư 1 là: \[ \frac{37 - 1}{3} + 1 = 13 \] - Số các số chia cho 3 dư 2 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 2, 5, 8, ..., 40. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia cho 3 dư 2 là: \[ \frac{40 - 2}{3} + 1 = 13 \] - Số cách chọn 1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2 là: \[ 13 \times 13 \times 13 = 2197 \] Bước 4: Tổng hợp các trường hợp thuận lợi. - Tổng số cách chọn 3 tấm thẻ có tổng 3 số ghi trên các thẻ chia hết cho 3 là: \[ 286 + 2197 = 2483 \] Vậy số cách chọn được 3 tấm thẻ có tổng 3 số ghi trên các thẻ chia hết cho 3 là 2483.