PHẦN 4: Tự luận (3 điểm) Câu 1 (0,5 điểm). Xác định parabol y=ax2+bx+1, biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A(1,0) ; B(2,4) Câu 2 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường tròn C có tâ...

Câu 1 Để xác định phương trình của parabol \( y = ax^2 + bx + 1 \), ta cần tìm các hệ số \( a \) và \( b \). Biết rằng đồ thị của parabol đi qua hai điểm \( A(1,0) \) và \( B(2,4) \). Bước 1: Thay tọa độ của điểm \( A(1,0) \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + 1 \): \[ 0 = a(1)^2 + b(1) + 1 \] \[ 0 = a + b + 1 \] \[ a + b = -1 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Thay tọa độ của điểm \( B(2,4) \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + 1 \): \[ 4 = a(2)^2 + b(2) + 1 \] \[ 4 = 4a + 2b + 1 \] \[ 4a + 2b = 3 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ phương trình (1): \[ a + b = -1 \] \[ b = -1 - a \quad \text{(3)} \] Thay \( b = -1 - a \) vào phương trình (2): \[ 4a + 2(-1 - a) = 3 \] \[ 4a - 2 - 2a = 3 \] \[ 2a - 2 = 3 \] \[ 2a = 5 \] \[ a = \frac{5}{2} \] Bước 4: Tìm giá trị của \( b \): \[ b = -1 - a \] \[ b = -1 - \frac{5}{2} \] \[ b = -\frac{2}{2} - \frac{5}{2} \] \[ b = -\frac{7}{2} \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = \frac{5}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 1 \] Câu 2 Để viết phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;3)\) và đi qua điểm \(M(3;1)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính bán kính của đường tròn. - Bán kính \(R\) của đường tròn là khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(M\). Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \[ R = \sqrt{(x_M - x_I)^2 + (y_M - y_I)^2} \] Thay tọa độ của \(I\) và \(M\) vào công thức: \[ R = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2} \] \[ R = \sqrt{2^2 + (-2)^2} \] \[ R = \sqrt{4 + 4} \] \[ R = \sqrt{8} \] \[ R = 2\sqrt{2} \] Bước 2: Viết phương trình đường tròn. - Phương trình đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Thay \(a = 1\), \(b = 3\), và \(R = 2\sqrt{2}\) vào phương trình: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8 \] Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8 \] Câu 3 Để biết liệu lưỡi câu của Nam có thể vào nơi nuôi vịt hay không, chúng ta cần kiểm tra xem khoảng cách từ điểm B đến bất kỳ điểm nào trong tam giác DEF có nhỏ hơn hoặc bằng 11,5 m hay không. Trước tiên, chúng ta sẽ tính khoảng cách từ B đến các đỉnh của tam giác DEF. 1. Tính khoảng cách từ B đến D: - Điểm B có tọa độ (0, 0) - Điểm D có tọa độ (15, 0) - Khoảng cách BD = 15 m 2. Tính khoảng cách từ B đến E: - Điểm B có tọa độ (0, 0) - Điểm E có tọa độ (6, 12) - Khoảng cách BE = $\sqrt{(6 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13,42$ m 3. Tính khoảng cách từ B đến F: - Điểm B có tọa độ (0, 0) - Điểm F có tọa độ (10, 12) - Khoảng cách BF = $\sqrt{(10 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} \approx 15,62$ m Như vậy, khoảng cách từ B đến các đỉnh của tam giác DEF lần lượt là: - BD = 15 m - BE ≈ 13,42 m - BF ≈ 15,62 m Tất cả các khoảng cách này đều lớn hơn 11,5 m, do đó lưỡi câu của Nam không thể vào nơi nuôi vịt. Đáp số: Lưỡi câu của Nam không thể vào nơi nuôi vịt. Câu 4 Để tính xác suất để 2 viên bi lấy được từ hộp thứ 2 là 2 viên bi trắng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất để lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1: - Số viên bi trắng trong hộp thứ 1 là 5. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 1 là 9. - Xác suất để lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1 là: \[ P(\text{bi trắng từ hộp thứ 1}) = \frac{5}{9} \] 2. Tính xác suất để lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1: - Số viên bi xanh trong hộp thứ 1 là 4. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 1 là 9. - Xác suất để lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1 là: \[ P(\text{bi xanh từ hộp thứ 1}) = \frac{4}{9} \] 3. Xét trường hợp 1: Lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1: - Khi đó hộp thứ 2 sẽ có 8 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. - Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi trắng từ hộp thứ 1}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{13}{2}} = \frac{28}{78} = \frac{14}{39} \] 4. Xét trường hợp 2: Lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1: - Khi đó hộp thứ 2 sẽ có 7 viên bi trắng và 6 viên bi xanh. - Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi xanh từ hộp thứ 1}) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{13}{2}} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26} \] 5. Tính tổng xác suất: - Xác suất tổng cộng để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = P(\text{bi trắng từ hộp thứ 1}) \times P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi trắng từ hộp thứ 1}) + P(\text{bi xanh từ hộp thứ 1}) \times P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi xanh từ hộp thứ 1}) \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{5}{9} \times \frac{14}{39} + \frac{4}{9} \times \frac{7}{26} \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{70}{351} + \frac{28}{234} \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{70}{351} + \frac{42}{351} = \frac{112}{351} \] Vậy xác suất để 2 viên bi lấy được từ hộp thứ 2 là 2 viên bi trắng là $\frac{112}{351}$.