hdhdvakshsbsjshs

Câu 243: a) Có 2 cách di chuyển từ thành phố A đến thành phố C mà không đi qua thành phố B: - Cách thứ nhất: A → D → C - Cách thứ hai: A → E → C b) Có 1 cách di chuyển từ thành phố A đến thành phố C mà đi qua thành phố B: - Cách duy nhất: A → B → C c) Có 3 cách đi từ thành phố A đến thành phố B mà không đi qua thành phố C: - Cách thứ nhất: A → B - Cách thứ hai: A → D → B - Cách thứ ba: A → E → B d) Có 3 cách đi từ thành phố A đến thành phố C rồi quay trở lại thành phố A: - Cách thứ nhất: A → D → C → D → A - Cách thứ hai: A → D → C → E → A - Cách thứ ba: A → E → C → D → A Đáp án đúng là: a) 2 cách, b) 1 cách, c) 3 cách, d) 3 cách. BÀI 24 Để giải quyết các bài toán liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, chúng ta sẽ áp dụng các công thức và quy tắc đã học trong chương trình lớp 10. Dưới đây là các bước chi tiết để giải quyết từng loại bài toán này. 1. Hoán Vị Hoán vị là sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được tính bằng công thức: \[ P(n) = n! \] Ví dụ: Tìm số hoán vị của 5 phần tử. Giải: Số hoán vị của 5 phần tử là: \[ P(5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] 2. Chỉnh Hợp Chỉnh hợp là sắp xếp r phần tử từ một tập hợp có n phần tử theo thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy r phần tử được tính bằng công thức: \[ A(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \] Ví dụ: Tìm số chỉnh hợp của 6 phần tử lấy 3 phần tử. Giải: Số chỉnh hợp của 6 phần tử lấy 3 phần tử là: \[ A(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \] 3. Tổ Hợp Tổ hợp là chọn r phần tử từ một tập hợp có n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy r phần tử được tính bằng công thức: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Ví dụ: Tìm số tổ hợp của 7 phần tử lấy 4 phần tử. Giải: Số tổ hợp của 7 phần tử lấy 4 phần tử là: \[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Kết luận - Hoán vị: \( P(n) = n! \) - Chỉnh hợp: \( A(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) - Tổ hợp: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) Trên đây là các bước chi tiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Câu 244: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phần của câu hỏi và lập luận từng bước. a) Có $C^6_{20}$ cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên: - Ta chọn 6 bạn từ 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên. Số cách chọn 6 bạn từ 20 bạn là $C^6_{20}$. b) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên, có $A^6_{14}$ cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai: - Sau khi đã chọn 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên, còn lại 14 bạn. Ta sắp xếp 6 bạn trong 14 bạn còn lại vào hàng ghế thứ hai. Số cách sắp xếp 6 bạn trong 14 bạn còn lại là $A^6_{14}$. c) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ hai, có $A^6_8$ cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba: - Sau khi đã sắp xếp 6 bạn vào hàng ghế thứ hai, còn lại 8 bạn. Ta sắp xếp 6 bạn trong 8 bạn còn lại vào hàng ghế thứ ba. Số cách sắp xếp 6 bạn trong 8 bạn còn lại là $A^6_8$. d) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ ba, có $C^2_6$ cách sắp xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng: - Sau khi đã sắp xếp 6 bạn vào hàng ghế thứ ba, còn lại 2 bạn. Ta sắp xếp 2 bạn còn lại vào hàng ghế cuối cùng. Số cách sắp xếp 2 bạn còn lại là $C^2_6$. Tóm lại, các bước lập luận như sau: - a) Chọn 6 bạn từ 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên: $C^6_{20}$. - b) Sắp xếp 6 bạn trong 14 bạn còn lại vào hàng ghế thứ hai: $A^6_{14}$. - c) Sắp xếp 6 bạn trong 8 bạn còn lại vào hàng ghế thứ ba: $A^6_8$. - d) Sắp xếp 2 bạn còn lại vào hàng ghế cuối cùng: $C^2_6$. Câu 245: a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc là: \[ 8! = 40320 \text{ (cách)} \] b) Số cách xếp học sinh cùng giới đứng cạnh nhau: - Xếp 5 nam sinh thành nhóm: 5! cách - Xếp 3 nữ sinh thành nhóm: 3! cách - Xếp hai nhóm này với nhau: 2! cách Tổng số cách: \[ 5! \times 3! \times 2! = 120 \times 6 \times 2 = 1440 \text{ (cách)} \] c) Số cách xếp học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau: - Xem 3 nữ sinh như một nhóm duy nhất: 1 nhóm - Xếp 5 nam sinh và 1 nhóm nữ sinh: 6! cách - Xếp 3 nữ sinh trong nhóm: 3! cách Tổng số cách: \[ 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320 \text{ (cách)} \] d) Số cách xếp không có em nữ nào đứng cạnh nhau: - Xếp 5 nam sinh trước: 5! cách - Có 6 khoảng trống giữa các nam sinh và hai đầu hàng để chèn nữ sinh: _ N _ N _ N _ N _ N _ - Chọn 3 trong 6 khoảng trống để đặt nữ sinh: \(\binom{6}{3}\) cách - Xếp 3 nữ sinh vào 3 khoảng đã chọn: 3! cách Tổng số cách: \[ 5! \times \binom{6}{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400 \div 6 = 2400 \text{ (cách)} \] Câu 246: a) Mỗi hành khách có 3 lựa chọn toa khách để lên, do đó số khả năng khách lên tàu tùy ý là: \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \] b) Số khả năng 3 hành khách lên cùng một toa là: \[ 3 \text{ (vì có 3 toa khách)} \] c) Số khả năng mỗi khách lên một toa khác nhau là: \[ 3 \times 2 \times 1 = 6 \] d) Số khả năng có 2 hành khách cùng lên một toa, hành khách thứ ba thì lên toa khác là: - Chọn 1 trong 3 toa cho 2 hành khách: 3 cách - Chọn 1 trong 2 toa còn lại cho hành khách thứ ba: 2 cách - Chọn 2 trong 3 hành khách lên cùng 1 toa: \(\binom{3}{2} = 3\) cách Do đó, tổng số khả năng là: \[ 3 \times 2 \times 3 = 18 \] Đáp số: a) 27 khả năng b) 3 khả năng c) 6 khả năng d) 18 khả năng Câu 247: a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là: Từ 9 bông hoa, ta chọn 4 bông tùy ý, số cách chọn là: \[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \text{ (cách)} \] b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: Để số bông mỗi màu bằng nhau, ta phải chọn 2 bông hồng và 2 bông trắng. Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng là: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ (cách)} \] Vậy số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: \[ 10 \times 6 = 60 \text{ (cách)} \] c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: Số cách chọn 3 bông hồng từ 5 bông hồng là: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 1 bông trắng từ 4 bông trắng là: \[ C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4 \text{ (cách)} \] Vậy số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: \[ 10 \times 4 = 40 \text{ (cách)} \] d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: Tổng số cách chọn 4 bông từ 9 bông là 126 cách (như ở phần a). Số cách chọn 4 bông cùng màu (chỉ có thể là 4 bông hồng hoặc 4 bông trắng): Số cách chọn 4 bông hồng từ 5 bông hồng là: \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5}{1} = 5 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông trắng từ 4 bông trắng là: \[ C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1 \text{ (cách)} \] Vậy số cách chọn 4 bông cùng màu là: \[ 5 + 1 = 6 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu là: \[ 126 - 6 = 120 \text{ (cách)} \] Đáp số: a) 126 cách b) 60 cách c) 40 cách d) 120 cách BÀI 25 Nhị thức Niuton là một công thức quan trọng trong đại số, được sử dụng để mở rộng lũy thừa của tổng hai số. Công thức này có dạng: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó: - \( n \) là số mũ tự nhiên. - \( \binom{n}{k} \) là hệ số nhị thức, còn được gọi là hệ số tổ hợp, và được tính bằng công thức: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để chứng minh công thức này. Bước 1: Xét trường hợp cơ bản Khi \( n = 1 \): \[ (a + b)^1 = a + b \] Điều này hiển nhiên đúng và tương ứng với công thức nhị thức Niuton khi \( n = 1 \). Bước 2: Giả sử công thức đúng cho \( n = k \) Giả sử rằng công thức nhị thức Niuton đúng cho \( n = k \): \[ (a + b)^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^j \] Bước 3: Chứng minh công thức đúng cho \( n = k+1 \) Chúng ta cần chứng minh rằng công thức đúng cho \( n = k+1 \): \[ (a + b)^{k+1} = (a + b)(a + b)^k \] Thay \( (a + b)^k \) bằng giả thiết quy nạp: \[ (a + b)^{k+1} = (a + b) \left( \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^j \right) \] Phân phối \( (a + b) \) vào tổng: \[ (a + b)^{k+1} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j+1} b^j + \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1} \] Chúng ta sẽ nhóm lại các hạng tử có cùng lũy thừa của \( b \): \[ (a + b)^{k+1} = \binom{k}{0} a^{k+1} + \left( \binom{k}{0} a^k b + \binom{k}{1} a^k b \right) + \left( \binom{k}{1} a^{k-1} b^2 + \binom{k}{2} a^{k-1} b^2 \right) + \cdots + \binom{k}{k} a b^k + \binom{k}{k} b^{k+1} \] Nhận thấy rằng: \[ \binom{k}{j} + \binom{k}{j-1} = \binom{k+1}{j} \] Do đó: \[ (a + b)^{k+1} = \sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j} a^{k+1-j} b^j \] Điều này chứng tỏ rằng nếu công thức đúng cho \( n = k \), thì nó cũng đúng cho \( n = k+1 \). Kết luận Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức nhị thức Niuton đúng cho mọi số tự nhiên \( n \): \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Câu 248: Để khai triển biểu thức \((x + 2y)^3 + (2x - y)^3\), ta sẽ sử dụng công thức khai triển \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \). Khai triển \((x + 2y)^3\): \[ (x + 2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3 \] \[ = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \] Khai triển \((2x - y)^3\): \[ (2x - y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3 \] \[ = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 \] Cộng hai biểu thức đã khai triển: \[ (x + 2y)^3 + (2x - y)^3 = (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) + (8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3) \] \[ = x^3 + 8x^3 + 6x^2y - 12x^2y + 12xy^2 + 6xy^2 + 8y^3 - y^3 \] \[ = 9x^3 - 6x^2y + 18xy^2 + 7y^3 \] Kiểm tra các hệ số: a) Hệ số của \(x^3\) là 9. b) Hệ số của \(y^3\) là 7. c) Hệ số của \(x^2y\) là -6. d) Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y: - Số hạng \(9x^3\) có tổng các hệ số là 9. - Số hạng \(-6x^2y\) có tổng các hệ số là -6. - Số hạng \(18xy^2\) có tổng các hệ số là 18. - Số hạng \(7y^3\) có tổng các hệ số là 7. Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là: \[ 9 + (-6) = 3 \] Vậy đáp án đúng là: a) Hệ số của \(x^3\) là 9. b) Hệ số của \(y^3\) là 7. c) Hệ số của \(x^2y\) là -6. d) Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 3.