giải thic rõ

Câu 1: a) Mốt của mẫu số liệu trên là 29. - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong dãy số 17, 18, 21, 24, 27, 29, 29, 29, 28, 25, 22, 18, giá trị 29 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Do đó, mốt của mẫu số liệu là 29. Đúng. b) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho bằng 23,92 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). - Số trung bình (trung vị) của mẫu số liệu là tổng các giá trị chia cho số lượng giá trị. \[ \text{Số trung bình} = \frac{17 + 18 + 21 + 24 + 27 + 29 + 29 + 29 + 28 + 25 + 22 + 18}{12} = \frac{288}{12} = 24 \] Sai. c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng 10. - Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa Q3 và Q1. - Dãy số đã sắp xếp: 17, 18, 18, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29, 29, 29. - Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị ở vị trí $\frac{12+1}{4} = 3,25$, tức là giá trị giữa 18 và 21, do đó Q1 = 19,5. - Q3 (tứ phân vị thứ ba) là giá trị ở vị trí $\frac{3(12+1)}{4} = 9,75$, tức là giá trị giữa 28 và 29, do đó Q3 = 28,5. - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 28,5 - 19,5 = 9. Sai. d) Phương sai của mẫu số liệu đã cho là 19,9 (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). - Phương sai là trung bình của bình phương các sai số so với giá trị trung bình. - Giá trị trung bình đã tính là 24. - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(17-24)^2 + (18-24)^2 + (18-24)^2 + (21-24)^2 + (22-24)^2 + (24-24)^2 + (25-24)^2 + (27-24)^2 + (28-24)^2 + (29-24)^2 + (29-24)^2 + (29-24)^2}{12} \] \[ = \frac{(-7)^2 + (-6)^2 + (-6)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2}{12} \] \[ = \frac{49 + 36 + 36 + 9 + 4 + 0 + 1 + 9 + 16 + 25 + 25 + 25}{12} = \frac{236}{12} \approx 19,67 \] Sai. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai. Câu 2: a) Ta có: $B(3;2),~C(7;3).$ Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: $(x-3)+(y-2)=0\times (7-3)$ $x-3+y-2=0$ $x+y-5=0.$ Vậy khẳng định a sai. b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là: $d(A,~BC)=\frac{|1+4-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.$ Vậy khẳng định b sai. c) Ta có: $B(3;2),~C(7;3).$ Bán kính của đường tròn (C) là: $BC=\sqrt{(7-3)^2+(3-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.$ Phương trình đường tròn (C) là: $(x-3)^2+(y-2)^2=17.$ Vậy khẳng định c sai. d) Ta có: $A(1;4).$ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là: $d(A,~BC)=\frac{|1+4-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.$ Vậy khẳng định d sai. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp "cắm cọc" để đảm bảo rằng không có hai bạn nữ đứng cạnh nhau. Bước 1: Xếp 4 bạn nam thành một hàng ngang. Có 4! cách xếp 4 bạn nam: \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Bước 2: Xác định các vị trí có thể đặt các bạn nữ. Khi 4 bạn nam đã được xếp, chúng tạo ra 5 khoảng trống (gọi là "cọc") để đặt các bạn nữ, bao gồm cả hai đầu hàng và giữa các bạn nam: \[ - N - N - N - N - \] Ở đây, dấu "-" đại diện cho các khoảng trống có thể đặt bạn nữ. Bước 3: Chọn 3 trong 5 khoảng trống để đặt các bạn nữ. Số cách chọn 3 khoảng trống từ 5 khoảng trống là: \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = 10 \] Bước 4: Xếp 3 bạn nữ vào 3 khoảng trống đã chọn. Có 3! cách xếp 3 bạn nữ: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Bước 5: Tính tổng số cách xếp 4 bạn nam và 3 bạn nữ sao cho không có bạn nữ nào đứng cạnh nhau: \[ 24 \times 10 \times 6 = 1440 \] Vậy, có tất cả 1440 cách xếp 4 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho không có bạn nữ nào đứng cạnh nhau. Câu 2: Để tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(2 - 3x)^5$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, ta có $a = 2$, $b = -3x$, và $n = 5$. Ta cần tìm hệ số của $x^4$, tức là tìm hệ số của $(-3x)^4$ trong khai triển. Theo công thức nhị thức Newton, hệ số của $x^4$ sẽ là: \[ \binom{5}{4} (2)^{5-4} (-3x)^4 \] Bây giờ, ta tính từng phần: 1. Tính $\binom{5}{4}$: \[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \] 2. Tính $(2)^{5-4}$: \[ (2)^{5-4} = 2^1 = 2 \] 3. Tính $(-3x)^4$: \[ (-3x)^4 = (-3)^4 \cdot x^4 = 81x^4 \] Gộp lại, ta có: \[ \binom{5}{4} (2)^{5-4} (-3x)^4 = 5 \cdot 2 \cdot 81x^4 = 810x^4 \] Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(2 - 3x)^5$ là $810$. Câu 3: Để tính chu vi \( C \) của hình tròn có bán kính \( R = 6 \), ta sử dụng công thức: \[ C = 2 \pi R \] Thay giá trị của \( R \) và \( \pi \) vào công thức: \[ C = 2 \times 3,14 \times 6 \] Tính toán: \[ C = 2 \times 3,14 \times 6 = 37,68 \] Số 37,68 khi làm tròn đến hàng phần chục sẽ là 37,7. Vậy, chu vi \( C \) của hình tròn khi làm tròn đến hàng phần chục là 37,7. Câu 4: Để tính diện tích tam giác ADM, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC. 2. Tìm tọa độ của điểm M trên đoạn thẳng AG sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$. 3. Tìm tọa độ của điểm I, trung điểm của đoạn thẳng BC. 4. Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng BC sao cho $\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CI}$. 5. Tính diện tích tam giác ADM bằng công thức diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh. Bước 1: Tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{1 + 2 - 2}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{9}{3}, \frac{1}{3} \right) \] \[ G = (3, \frac{1}{3}) \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M trên đoạn thẳng AG sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$. Tọa độ của điểm M: \[ M = A + \frac{2}{3}(G - A) \] \[ M = (0, 1) + \frac{2}{3}((3, \frac{1}{3}) - (0, 1)) \] \[ M = (0, 1) + \frac{2}{3}(3, \frac{1}{3} - 1) \] \[ M = (0, 1) + \frac{2}{3}(3, -\frac{2}{3}) \] \[ M = (0, 1) + (2, -\frac{4}{9}) \] \[ M = (2, \frac{5}{9}) \] Bước 3: Tìm tọa độ của điểm I, trung điểm của đoạn thẳng BC. Trung điểm I của đoạn thẳng BC: \[ I = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] \[ I = \left( \frac{6 + 3}{2}, \frac{2 - 2}{2} \right) \] \[ I = \left( \frac{9}{2}, 0 \right) \] \[ I = (4.5, 0) \] Bước 4: Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng BC sao cho $\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CI}$. Tọa độ của điểm D: \[ D = C + \frac{3}{2}(I - C) \] \[ D = (3, -2) + \frac{3}{2}((4.5, 0) - (3, -2)) \] \[ D = (3, -2) + \frac{3}{2}(1.5, 2) \] \[ D = (3, -2) + (2.25, 3) \] \[ D = (5.25, 1) \] Bước 5: Tính diện tích tam giác ADM bằng công thức diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh. Diện tích tam giác ADM: \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_M - y_D) + x_M(y_D - y_A) + x_D(y_A - y_M) \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| 0(\frac{5}{9} - 1) + 2(1 - 1) + 5.25(1 - \frac{5}{9}) \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 5.25 \times \frac{4}{9} \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| 5.25 \times \frac{4}{9} \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| \frac{21}{4} \times \frac{4}{9} \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \left| \frac{21}{9} \right| \] \[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \] \[ S_{ADM} = \frac{7}{6} \approx 1.17 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ S_{ADM} \approx 1 \] Đáp số: Diện tích tam giác ADM là 1. Câu 1: Để tạo ra các số tự nhiên gồm 5 chữ số từ các chữ số 2, 3, 4 sao cho mỗi số đều có đủ cả ba chữ số này, ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn vị trí cho các chữ số 2, 3, 4: - Ta cần chọn 3 trong 5 vị trí để đặt các chữ số 2, 3, 4. Số cách chọn 3 vị trí trong 5 vị trí là: \[ \binom{5}{3} = 10 \] 2. Sắp xếp các chữ số 2, 3, 4 vào các vị trí đã chọn: - Mỗi nhóm 3 vị trí có thể sắp xếp các chữ số 2, 3, 4 theo các cách khác nhau. Số cách sắp xếp 3 chữ số là: \[ 3! = 6 \] 3. Chọn chữ số lặp lại cho hai vị trí còn lại: - Sau khi đã chọn và sắp xếp 3 chữ số 2, 3, 4 vào 3 vị trí, ta còn 2 vị trí còn lại. Các vị trí này có thể chứa bất kỳ chữ số nào trong 3 chữ số 2, 3, 4. Số cách chọn chữ số cho mỗi vị trí là 3 (vì có 3 chữ số để chọn). Do đó, số cách chọn cho 2 vị trí còn lại là: \[ 3 \times 3 = 9 \] 4. Tính tổng số cách tạo ra các số tự nhiên gồm 5 chữ số: - Tổng số cách tạo ra các số tự nhiên gồm 5 chữ số từ các chữ số 2, 3, 4 là: \[ 10 \times 6 \times 9 = 540 \] Vậy, từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được 540 số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có đủ mặt 3 chữ số nói trên. Câu 2: Khi gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp, ta có tổng cộng \(6 \times 6 = 36\) kết quả có thể xảy ra. Ta sẽ liệt kê các trường hợp mà tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 10: - Tổng số chấm là 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) - Tổng số chấm là 11: (5, 6), (6, 5) - Tổng số chấm là 12: (6, 6) Như vậy, có 6 trường hợp thỏa mãn điều kiện tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 10. Xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là một số lớn hơn hoặc bằng 10 là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] Đáp số: $\frac{1}{6}$ Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của elip. 2. Tìm tọa độ của điểm A và B. 3. Tính diện tích tam giác OAB. Bước 1: Xác định phương trình của elip Elip có độ dài trục lớn là 4 m và độ dài trục bé là 2 m. Do đó, bán kính trục lớn \(a = 2\) m và bán kính trục bé \(b = 1\) m. Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm A và B Vì tam giác OAB là tam giác cân tại O, nên điểm A và B sẽ đối xứng qua trục y. Giả sử tọa độ của điểm A là \((x_1, y_1)\) và tọa độ của điểm B là \((-x_1, y_1)\). Thay tọa độ của điểm A vào phương trình elip: \[ \frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{1} = 1 \] \[ \frac{x_1^2}{4} + y_1^2 = 1 \] \[ y_1^2 = 1 - \frac{x_1^2}{4} \] Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB Diện tích tam giác OAB là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \] Đáy của tam giác là khoảng cách giữa hai điểm A và B, tức là \(2x_1\). Cao của tam giác là \(y_1\). Do đó, diện tích tam giác OAB là: \[ S = \frac{1}{2} \times 2x_1 \times y_1 = x_1 \times y_1 \] Thay \(y_1^2 = 1 - \frac{x_1^2}{4}\) vào diện tích: \[ S = x_1 \times \sqrt{1 - \frac{x_1^2}{4}} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Gọi \(t = x_1^2\), thì: \[ S = \sqrt{t} \times \sqrt{1 - \frac{t}{4}} = \sqrt{t \left(1 - \frac{t}{4}\right)} = \sqrt{t - \frac{t^2}{4}} \] Để \(S\) lớn nhất, ta cần \(t - \frac{t^2}{4}\) lớn nhất. Gọi \(f(t) = t - \frac{t^2}{4}\). Tìm đạo hàm của \(f(t)\): \[ f'(t) = 1 - \frac{t}{2} \] Đặt \(f'(t) = 0\): \[ 1 - \frac{t}{2} = 0 \] \[ t = 2 \] Kiểm tra giá trị của \(f(t)\) tại \(t = 2\): \[ f(2) = 2 - \frac{2^2}{4} = 2 - 1 = 1 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(S\) là: \[ S_{\text{max}} = \sqrt{1} = 1 \] Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất là: \[ \boxed{1 \text{ m}^2} \]