sossssssss

Câu 1. a) Số cách chọn hai quả cầu khác màu: - Chọn 1 quả cầu đen từ 4 quả cầu đen: $C^1_4$ - Chọn 1 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng: $C^1_6$ Số cách chọn hai quả cầu khác màu là: $C^1_4 \times C^1_6 = 4 \times 6 = 24$ cách. b) Xác suất để chọn được hai quả cầu cùng màu: - Số cách chọn 2 quả cầu đen từ 4 quả cầu đen: $C^2_4 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ cách. - Số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng: $C^2_6 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ cách. - Tổng số cách chọn 2 quả cầu cùng màu: $6 + 15 = 21$ cách. - Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 10 quả cầu: $C^2_{10} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ cách. Xác suất để chọn được hai quả cầu cùng màu là: $\frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ c) Số cách để chọn 2 quả cầu từ hộp: - Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 10 quả cầu: $C^2_{10} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ cách. d) Xác suất để chọn được hai quả cầu khác màu: - Số cách chọn hai quả cầu khác màu đã tính ở phần a) là 24 cách. - Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 10 quả cầu: $C^2_{10} = 45$ cách. Xác suất để chọn được hai quả cầu khác màu là: $\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ Đáp số: a) 24 cách b) $\frac{7}{15}$ c) 45 cách d) $\frac{8}{15}$ Câu 2. Phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1$. Ta nhận thấy đây là dạng phương trình chính tắc của elip có tâm ở gốc tọa độ $(0,0)$, trục lớn song song với trục hoành và trục nhỏ song song với trục tung. - Bước 1: Xác định các thông số của elip: - $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ - $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$ - Bước 2: Xác định khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc elip: - Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc elip là độ dài trục lớn, tức là $2a = 2 \times 3 = 6$. Do đó, phát biểu a) là đúng. - Bước 3: Xác định tọa độ tiêu điểm: - Độ dài tiêu cự $c$ của elip được tính theo công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. - Tiêu điểm bên phải trục hoành có tọa độ là $(c, 0) = (\sqrt{5}, 0)$. Do đó, phát biểu b) là sai. - Bước 4: Xác định tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là $2c = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$. Do đó, phát biểu c) là đúng. - Bước 5: Kiểm tra điểm $A(3,0)$ có thuộc elip hay không: - Thay tọa độ của điểm $A(3,0)$ vào phương trình elip: \[ \frac{3^2}{9} + \frac{0^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{9}{9} + 0 = 1 \Rightarrow 1 = 1 \] - Kết quả đúng, do đó điểm $A(3,0)$ thuộc elip. Phát biểu d) là đúng. Tóm lại, các phát biểu đúng là: - a) Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc elip bằng 6. - c) Tiêu cự của elip (E) bằng $2\sqrt5$. - d) Điểm $A(3,0)$ thuộc elip (E). Đáp án: a, c, d. Câu 1. Để tính xác suất của biến cố A: "Trong 4 số được chọn có đúng 3 số chia hết cho 2", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 4 số từ 10 số tự nhiên Tổng số cách chọn 4 số từ 10 số tự nhiên là: \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] Bước 2: Xác định số cách chọn đúng 3 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 Các số chia hết cho 2 trong tập {1, 2, 3, ..., 10} là: 2, 4, 6, 8, 10 (tổng cộng 5 số). Số cách chọn 3 số chia hết cho 2 từ 5 số là: \[ C_{5}^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \] Các số không chia hết cho 2 trong tập {1, 2, 3, ..., 10} là: 1, 3, 5, 7, 9 (tổng cộng 5 số). Số cách chọn 1 số không chia hết cho 2 từ 5 số là: \[ C_{5}^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5}{1} = 5 \] Số cách chọn đúng 3 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 là: \[ 10 \times 5 = 50 \] Bước 3: Tính xác suất của biến cố A Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{Số cách chọn đúng 3 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2}}{\text{Tổng số cách chọn 4 số từ 10 số tự nhiên}} = \frac{50}{210} \approx 0.238 \] Làm tròn đến một chữ số phía sau dấu phẩy: \[ P(A) \approx 0.2 \] Đáp số: \[ P(A) \approx 0.2 \] Câu 2. Trước tiên, ta cần xác định diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể nằm hoàn toàn trong mảnh đất hình elip. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nằm trong hình elip sẽ là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các điểm tiếp xúc của elip với các đường thẳng song song với trục lớn và trục bé của elip. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nằm trong hình elip là: \[ A_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times \text{trục lớn} \times \text{trục bé} \] \[ A_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 \] \[ A_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 9600 \] \[ A_{\text{max}} = 4800 \, m^2 \] Chi phí lớn nhất để xây dựng tòa nhà là: \[ \text{Chi phí} = 4800 \times 1,2 \] \[ \text{Chi phí} = 5760 \, \text{triệu đồng} \] Đáp số: 5760 triệu đồng. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp kết hợp và tính toán số cách chọn các quả cầu theo yêu cầu. Bước 1: Xác định số cách chọn 1 quả cầu màu đỏ từ 7 quả cầu màu đỏ. - Số cách chọn 1 quả cầu màu đỏ từ 7 quả cầu màu đỏ là: \[ C_7^1 = 7 \] Bước 2: Xác định số cách chọn 1 quả cầu màu xanh từ 5 quả cầu màu xanh. - Số cách chọn 1 quả cầu màu xanh từ 5 quả cầu màu xanh là: \[ C_5^1 = 5 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 2 quả cầu sao cho có 1 quả cầu màu đỏ và 1 quả cầu màu xanh. - Tổng số cách chọn là: \[ 7 \times 5 = 35 \] Vậy, có 35 cách chọn để hai quả cầu này có một quả cầu màu đỏ và một quả cầu màu xanh. Đáp số: 35 cách Câu 4. Để tìm xác suất để 3 học sinh lấy ra chơi đủ 3 môn thể thao trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh: Số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh là: \[ C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \] 2. Tính số cách chọn 3 học sinh chơi đủ 3 môn thể thao: - Chọn 1 học sinh thích chơi bóng bàn từ 20 học sinh: \(C_{20}^1 = 20\) - Chọn 1 học sinh thích chơi cầu lông từ 12 học sinh: \(C_{12}^1 = 12\) - Chọn 1 học sinh thích chơi bóng rổ từ 8 học sinh: \(C_{8}^1 = 8\) Số cách chọn 3 học sinh chơi đủ 3 môn thể thao là: \[ 20 \times 12 \times 8 = 1920 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để 3 học sinh lấy ra chơi đủ 3 môn thể thao là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 3 học sinh chơi đủ 3 môn thể thao}}{\text{Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh}} = \frac{1920}{9880} \] Làm tròn kết quả đến hai chữ số phía sau dấu phẩy: \[ P \approx 0.19 \] Vậy xác suất để 3 học sinh lấy ra chơi đủ 3 môn thể thao trên là \(0.19\). Câu 1. Để giải phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{-2x^2-9x+1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có hai căn thức, do đó ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới dấu căn đều không âm: \[ 3x^2 - 6x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad -2x^2 - 9x + 1 \geq 0 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức Ta bình phương cả hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{3x^2-6x+1})^2 = (\sqrt{-2x^2-9x+1})^2 \] \[ 3x^2 - 6x + 1 = -2x^2 - 9x + 1 \] Bước 3: Rút gọn phương trình Rút gọn phương trình bằng cách chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 3x^2 - 6x + 1 + 2x^2 + 9x - 1 = 0 \] \[ 5x^2 + 3x = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Phương trình $5x^2 + 3x = 0$ có thể được viết lại thành: \[ x(5x + 3) = 0 \] Từ đây, ta tìm được các nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x + 3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{5} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định Ta kiểm tra các nghiệm này trong điều kiện xác định ban đầu: - Với $x = 0$: \[ 3(0)^2 - 6(0) + 1 = 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad -2(0)^2 - 9(0) + 1 = 1 \geq 0 \] Vậy $x = 0$ thỏa mãn ĐKXĐ. - Với $x = -\frac{3}{5}$: \[ 3\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 6\left(-\frac{3}{5}\right) + 1 = 3\left(\frac{9}{25}\right) + \frac{18}{5} + 1 = \frac{27}{25} + \frac{90}{25} + \frac{25}{25} = \frac{142}{25} > 0 \] \[ -2\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 9\left(-\frac{3}{5}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{25}\right) + \frac{27}{5} + 1 = -\frac{18}{25} + \frac{135}{25} + \frac{25}{25} = \frac{142}{25} > 0 \] Vậy $x = -\frac{3}{5}$ cũng thỏa mãn ĐKXĐ. Kết luận: Các nghiệm của phương trình là $x = 0$ hoặc $x = -\frac{3}{5}$. Câu 2. a) Tìm số hạng chứa $x^4$ trong khai triển của $(3x-1)^5$ Ta sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển $(3x - 1)^5$. Theo công thức, số hạng thứ $k+1$ trong khai triển của $(a + b)^n$ là: \[ C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] Trong trường hợp này, $a = 3x$, $b = -1$, và $n = 5$. Ta cần tìm số hạng chứa $x^4$, tức là $a^{n-k} = (3x)^{5-k}$ phải có bậc là 4. Do đó: \[ 5 - k = 4 \] \[ k = 1 \] Số hạng thứ 2 (với $k = 1$) là: \[ C_5^1 \cdot (3x)^{5-1} \cdot (-1)^1 = C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot (-1) \] Tính $C_5^1$: \[ C_5^1 = 5 \] Do đó, số hạng chứa $x^4$ là: \[ 5 \cdot (3x)^4 \cdot (-1) = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4 \] Vậy số hạng chứa $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$ là $-405x^4$. b) Trong một hộp có 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu đỏ. Để tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu đỏ, ta sẽ tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra không có quả cầu đỏ nào và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất đó. Tổng số cách chọn 4 quả cầu từ 15 quả cầu là: \[ C_{15}^4 \] Số cách chọn 4 quả cầu không có quả cầu đỏ nào (chọn từ 9 quả cầu xanh và vàng) là: \[ C_9^4 \] Xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra không có quả cầu đỏ là: \[ P(\text{không có quả cầu đỏ}) = \frac{C_9^4}{C_{15}^4} \] Tính $C_9^4$ và $C_{15}^4$: \[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = 126 \] \[ C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = 1365 \] Do đó: \[ P(\text{không có quả cầu đỏ}) = \frac{126}{1365} = \frac{6}{65} \] Xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu đỏ là: \[ P(\text{ít nhất một quả cầu đỏ}) = 1 - P(\text{không có quả cầu đỏ}) = 1 - \frac{6}{65} = \frac{59}{65} \] Vậy xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu đỏ là $\frac{59}{65}$. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các chữ số chẵn và lẻ: - Chữ số chẵn: 2, 4, 6, 8 - Chữ số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9 2. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp 1: Chữ số đầu tiên là chẵn, ba chữ số còn lại là lẻ. - Trường hợp 2: Chữ số đầu tiên là lẻ, ba chữ số còn lại là chẵn. - Trường hợp 3: Hai chữ số đầu tiên là chẵn, hai chữ số cuối cùng là lẻ. - Trường hợp 4: Hai chữ số đầu tiên là lẻ, hai chữ số cuối cùng là chẵn. - Trường hợp 5: Chữ số đầu tiên là chẵn, chữ số thứ hai là lẻ, chữ số thứ ba là chẵn, chữ số thứ tư là lẻ. - Trường hợp 6: Chữ số đầu tiên là chẵn, chữ số thứ hai là lẻ, chữ số thứ ba là lẻ, chữ số thứ tư là chẵn. - Trường hợp 7: Chữ số đầu tiên là lẻ, chữ số thứ hai là chẵn, chữ số thứ ba là lẻ, chữ số thứ tư là chẵn. - Trường hợp 8: Chữ số đầu tiên là lẻ, chữ số thứ hai là chẵn, chữ số thứ ba là chẵn, chữ số thứ tư là lẻ. 3. Tính số trường hợp cho mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: Chữ số đầu tiên là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ hai là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ ba là lẻ (4 cách chọn), chữ số thứ tư là lẻ (3 cách chọn). Số trường hợp là \(4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240\). - Trường hợp 2: Chữ số đầu tiên là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ hai là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ ba là chẵn (3 cách chọn), chữ số thứ tư là chẵn (2 cách chọn). Số trường hợp là \(5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120\). - Trường hợp 3: Chữ số đầu tiên là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ hai là chẵn (3 cách chọn), chữ số thứ ba là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ tư là lẻ (4 cách chọn). Số trường hợp là \(4 \times 3 \times 5 \times 4 = 240\). - Trường hợp 4: Chữ số đầu tiên là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ hai là lẻ (4 cách chọn), chữ số thứ ba là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ tư là chẵn (3 cách chọn). Số trường hợp là \(5 \times 4 \times 4 \times 3 = 240\). - Trường hợp 5: Chữ số đầu tiên là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ hai là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ ba là chẵn (3 cách chọn), chữ số thứ tư là lẻ (4 cách chọn). Số trường hợp là \(4 \times 5 \times 3 \times 4 = 240\). - Trường hợp 6: Chữ số đầu tiên là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ hai là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ ba là lẻ (4 cách chọn), chữ số thứ tư là chẵn (3 cách chọn). Số trường hợp là \(4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240\). - Trường hợp 7: Chữ số đầu tiên là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ hai là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ ba là lẻ (4 cách chọn), chữ số thứ tư là chẵn (3 cách chọn). Số trường hợp là \(5 \times 4 \times 4 \times 3 = 240\). - Trường hợp 8: Chữ số đầu tiên là lẻ (5 cách chọn), chữ số thứ hai là chẵn (4 cách chọn), chữ số thứ ba là chẵn (3 cách chọn), chữ số thứ tư là lẻ (4 cách chọn). Số trường hợp là \(5 \times 4 \times 3 \times 4 = 240\). 4. Tổng số trường hợp: \(240 + 120 + 240 + 240 + 240 + 240 + 240 + 240 = 1800\) Vậy có 1800 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.