hznxbxjxhs xnkxjx

Câu 1. Để tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x - 2}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức dưới dấu căn: \[ x - 2 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x \geq 2 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Tập xác định của hàm số là tất cả các giá trị thực của \(x\) sao cho \(x \geq 2\). Do đó, tập xác định là: \[ D = [2; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~D = [2; +\infty) \] Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{2x + 3} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức dưới dấu căn: \[ 2x + 3 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 2x + 3 \geq 0 \] \[ 2x \geq -3 \] \[ x \geq -\frac{3}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{2x + 3} \) là \( x \geq -\frac{3}{2} \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ \left[-\frac{3}{2}; +\infty\right) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. \left(-\frac{3}{2}; +\infty\right) \] Câu 3. Trục đối xứng của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là đường thẳng \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong bài toán này, ta có: \[ y = x^2 + 4x - 5 \] Đây là dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = 4 \), và \( c = -5 \). Áp dụng công thức trục đối xứng: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times 1} = -\frac{4}{2} = -2 \] Vậy trục đối xứng của parabol \( y = x^2 + 4x - 5 \) là đường thẳng \( x = -2 \). Đáp án đúng là: \( D.~x = -2 \). Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa vào đồ thị của hàm số $y = ax^2 + bx + c$. 1. Khẳng định A: $y \geq -3, \forall x \in \mathbb{R}$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-3$, xảy ra tại đỉnh của parabol. Do đó, khẳng định này đúng. 2. Khẳng định B: $y > -1, \forall x \in (0; +\infty)$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x > 0$, giá trị của hàm số luôn lớn hơn $-1$. Do đó, khẳng định này đúng. 3. Khẳng định C: $y < 0, \forall x \in (0; 1)$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x$ nằm trong khoảng $(0; 1)$, giá trị của hàm số luôn nhỏ hơn $0$. Do đó, khẳng định này đúng. 4. Khẳng định D: $y > -3, \forall x \neq 1$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-3$, xảy ra tại đỉnh của parabol, tức là tại $x = 1$. Do đó, khi $x \neq 1$, giá trị của hàm số luôn lớn hơn $-3$. Tuy nhiên, khẳng định này sai vì tại $x = 1$, giá trị của hàm số bằng $-3$, không lớn hơn $-3$. Vậy khẳng định sai là: \[ \boxed{D.~y > -3,~\forall x \neq 1.} \] Câu 5. Để giải bất phương trình \(x^2 + x - 2 \leq 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(x^2 + x - 2 = 0\): Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -2\), ta có: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] 2. Xác định dấu của biểu thức \(x^2 + x - 2\) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm: Biểu thức \(x^2 + x - 2\) có dạng \(a(x - x_1)(x - x_2)\). Ta vẽ bảng xét dấu: | Khoảng | \(x < -2\) | \(x = -2\) | \(-2 < x < 1\) | \(x = 1\) | \(x > 1\) | |---------------|------------|------------|----------------|-----------|-----------| | \(x + 2\) | - | 0 | + | + | + | | \(x - 1\) | - | - | - | 0 | + | | \(x^2 + x - 2\)| + | 0 | - | 0 | + | 3. Xác định tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 + x - 2 \leq 0\): Theo bảng xét dấu, biểu thức \(x^2 + x - 2\) nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng \([-2, 1]\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 + x - 2 \leq 0\) là: \[ S = [-2, 1] \] Đáp án đúng là: \(D.~S = [-2, 1]\). Câu 6. Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x - 2y - 3 = 0\), ta cần tìm vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng này. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng tổng quát là \(Ax + By + C = 0\). Trong đó, \(A = 1\), \(B = -2\), và \(C = -3\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \(\overrightarrow{n} = (A, B)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (1, -2)\). Ta kiểm tra các đáp án: - \(A.~\overrightarrow{n} = (2, 1)\) - \(B.~\overrightarrow{n} = (1, 2)\) - \(C.~\overrightarrow{n} = (-2, 1)\) - \(D.~\overrightarrow{n} = (1, -2)\) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án \(D\) đúng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{n} = (1, -2) \] Câu 7. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = -2 - t \end{array} \right. \] Ta nhận thấy rằng: - Khi \(t\) thay đổi, \(x\) thay đổi theo tỷ lệ \(-2\) (vì \(x = 1 - 2t\)). - Khi \(t\) thay đổi, \(y\) thay đổi theo tỷ lệ \(-1\) (vì \(y = -2 - t\)). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \(\overrightarrow{u} = (-2, -1)\). Trong các lựa chọn đã cho: - \(A.~\overrightarrow{u} = (2, -1)\) - \(B.~\overrightarrow{u} = (1, -2)\) - \(C.~\overrightarrow{n} = (-2, -1)\) - \(D.~\overrightarrow{n} = (1, 2)\) Chúng ta thấy rằng vectơ \(\overrightarrow{n} = (-2, -1)\) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{n} = (-2, -1) \] Câu 8. Để tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: ax + by + c = 0\) và \(d_2: a'x + b'y + c' = 0\): \[ \tan \theta = \left| \frac{a b' - a' b}{a a' + b b'} \right| \] Trong đó: - \(a = 7\), \(b = -3\) - \(a' = 2\), \(b' = -5\) Áp dụng công thức: \[ \tan \theta = \left| \frac{(7)(-5) - (2)(-3)}{(7)(2) + (-3)(-5)} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{-35 + 6}{14 + 15} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{-29}{29} \right| \] \[ \tan \theta = 1 \] Biết rằng \(\tan 45^\circ = 1\), nên góc \(\theta\) giữa hai đường thẳng là \(45^\circ\). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~45^\circ \] Câu 9. Để tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0,0)\) đến đường thẳng \(d: 4x - 3y + 1 = 0\), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \(M(x_1, y_1)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Áp dụng công thức này cho điểm \(O(0,0)\) và đường thẳng \(4x - 3y + 1 = 0\): - \(A = 4\) - \(B = -3\) - \(C = 1\) - \(x_1 = 0\) - \(y_1 = 0\) Thay vào công thức: \[ d = \frac{|4 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \] \[ d = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ d = \frac{|1|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{1}{5} \] Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{1}{5}\). Đáp án đúng là: \(D. \frac{1}{5}\). Câu 10. Để tìm tâm của đường tròn $(C):~x^2+y^2+4x+6y-12=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương: Ta cần hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\). Phương trình ban đầu: \[ x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ (x^2 + 4x) + (y^2 + 6y) = 12 \] 2. Hoàn thành bình phương: - Với \(x^2 + 4x\), ta thêm và bớt \(4\) (vì \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\)): \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] - Với \(y^2 + 6y\), ta thêm và bớt \(9\) (vì \((y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9\)): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \] Thay vào phương trình: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12 \] \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] 4. Nhận dạng tâm và bán kính: Phương trình trên có dạng chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), trong đó tâm là \((a, b)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn: \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Ta thấy tâm của đường tròn là \((-2, -3)\) và bán kính là \(5\). Vậy tâm của đường tròn là \(I(-2, -3)\). Đáp án đúng là: \(A.~I(-2, -3)\). Câu 11. Phương trình đường tròn có tâm \( I(a; b) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm \( I(1; 2) \) và bán kính \( R = 5 \). Ta thay các giá trị này vào phương trình đường tròn: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Tiếp theo, ta sẽ mở rộng các bình phương: \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] \[ (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25 \] Ta nhóm các hạng tử lại: \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 + 4 = 25 \] \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 25 \] Cuối cùng, ta chuyển 25 sang phía bên trái: \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 - 25 = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ A.~x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \] Đáp án đúng là: \( A.~x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \) Câu 12. Để tìm tiêu cự của elip \( (E): \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng chuẩn \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), trong đó \( a^2 = 5 \) và \( b^2 = 4 \). 2. Tìm \( a \) và \( b \): - \( a = \sqrt{5} \) - \( b = \sqrt{4} = 2 \) 3. Xác định trục lớn và trục nhỏ: - Vì \( a > b \), nên trục lớn là trục \( x \) và trục nhỏ là trục \( y \). 4. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \). - Thay các giá trị đã biết: \[ c = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 \] 5. Tính tiêu cự (2c): - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là \( 2c \). - Do đó, tiêu cự là: \[ 2c = 2 \times 1 = 2 \] Vậy tiêu cự của elip \( (E): \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 \) là 2.