đúng sai cho các ý

Câu 2. Phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$. Ta có: - $a^2 = 12$, suy ra $a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. - $b^2 = 8$, suy ra $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Tiêu cự của elip (E) là $2c$, trong đó $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2$. Do đó, tiêu cự là $2c = 2 \times 2 = 4$. Hai tiêu điểm của elip (E) là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$, tức là $F_1(-2; 0)$ và $F_2(2; 0)$. Elip (E) cắt trục Ox tại hai điểm $A(-a; 0)$ và $B(a; 0)$, tức là $A(-2\sqrt{3}; 0)$ và $B(2\sqrt{3}; 0)$. Elip (E) cắt trục Oy tại hai điểm $C(0; -b)$ và $D(0; b)$, tức là $C(0; -2\sqrt{2})$ và $D(0; 2\sqrt{2})$. Tóm lại: a) Elip (E) có tiêu cự bằng 4. b) Elip (E) có hai tiêu điểm $F_1(-2; 0)$ và $F_2(2; 0)$. e) Elip (E) cắt trục Ox tại hai điểm $A(-2\sqrt{3}; 0)$ và $B(2\sqrt{3}; 0)$. d) Elip (E) cắt trục Oy tại hai điểm $C(0; -2\sqrt{2})$ và $D(0; 2\sqrt{2})$. Câu 3: Để giải quyết từng phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ đều ghi số lẻ - Tổng số thẻ là 40, trong đó có 20 thẻ ghi số lẻ (1, 3, 5, ..., 39). - Số cách chọn 3 thẻ từ 20 thẻ lẻ là: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] - Số cách chọn 3 thẻ từ 40 thẻ là: \[ C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \] - Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ đều ghi số lẻ là: \[ P(A) = \frac{C_{20}^3}{C_{40}^3} = \frac{1140}{9880} = \frac{3}{26} \] b) Xác suất để tổng ba số trên ba thẻ rút được là số chia hết cho 3 - Tổng số cách chọn 3 thẻ từ 40 thẻ là 9880 (như đã tính ở phần trên). - Để tổng ba số chia hết cho 3, ta cần xem xét các trường hợp: - Tất cả 3 số đều chia hết cho 3. - Hai số chia hết cho 3 và một số không chia hết cho 3. - Một số chia hết cho 3 và hai số không chia hết cho 3 nhưng tổng của chúng chia hết cho 3. - Số thẻ chia hết cho 3 là 13 (3, 6, 9, ..., 39). - Số thẻ không chia hết cho 3 là 27 (1, 2, 4, 5, ..., 40 trừ đi các số chia hết cho 3). - Tính số cách chọn các trường hợp: - Chọn 3 thẻ chia hết cho 3: \[ C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \] - Chọn 2 thẻ chia hết cho 3 và 1 thẻ không chia hết cho 3: \[ C_{13}^2 \times C_{27}^1 = \left( \frac{13 \times 12}{2 \times 1} \right) \times 27 = 78 \times 27 = 2106 \] - Chọn 1 thẻ chia hết cho 3 và 2 thẻ không chia hết cho 3 nhưng tổng của chúng chia hết cho 3: \[ C_{13}^1 \times C_{27}^2 = 13 \times \left( \frac{27 \times 26}{2 \times 1} \right) = 13 \times 351 = 4563 \] - Tổng số cách chọn 3 thẻ sao cho tổng chia hết cho 3: \[ 286 + 2106 + 4563 = 6955 \] - Xác suất để tổng ba số trên ba thẻ rút được là số chia hết cho 3 là: \[ P(B) = \frac{6955}{9880} = \frac{127}{380} \] c) Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ trong đó có ít nhất một thẻ ghi số chẵn - Số cách chọn 3 thẻ từ 20 thẻ lẻ là 1140 (như đã tính ở phần a). - Số cách chọn 3 thẻ từ 40 thẻ là 9880 (như đã tính ở phần a). - Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ đều ghi số lẻ là: \[ P(A) = \frac{1140}{9880} = \frac{3}{26} \] - Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ trong đó có ít nhất một thẻ ghi số chẵn là: \[ P(C) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{26} = \frac{23}{26} \] d) Số phần tử của không gian mẫu của phép thử trên là $n(\Omega)=9880$ - Như đã tính ở phần a, số cách chọn 3 thẻ từ 40 thẻ là: \[ n(\Omega) = C_{40}^3 = 9880 \] Kết luận: a) Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ đều ghi số lẻ là $\frac{3}{26}$. b) Xác suất để tổng ba số trên ba thẻ rút được là số chia hết cho 3 là $\frac{127}{380}$. c) Xác suất để rút được 3 chiếc thẻ trong đó có ít nhất một thẻ ghi số chẵn là $\frac{23}{26}$. d) Số phần tử của không gian mẫu của phép thử trên là $n(\Omega)=9880$. Câu 4: a) Số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau: - Chữ số hàng đơn vị có thể là 0, 2 hoặc 4 (3 lựa chọn). - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng đơn vị và 0 (4 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị (3 lựa chọn). Số lượng số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau là: \[ 3 \times 4 \times 3 = 36 \] b) Số tự nhiên có hai chữ số: - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 (4 lựa chọn). - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng chục (4 lựa chọn). Số lượng số tự nhiên có hai chữ số là: \[ 4 \times 4 = 16 \] c) Số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5: - Chữ số hàng đơn vị có thể là 0 hoặc 5 (2 lựa chọn). - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng đơn vị và 0 (4 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị (3 lựa chọn). Số lượng số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là: \[ 2 \times 4 \times 3 = 24 \] d) Số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau: - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 (4 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng trăm (4 lựa chọn). - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số hàng trăm và hàng chục (3 lựa chọn). Số lượng số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là: \[ 4 \times 4 \times 3 = 48 \] Đáp số: a) 36 số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau. b) 16 số tự nhiên có hai chữ số. c) 24 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. d) 48 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Câu 5. a) Đúng vì mỗi con súc sắc có 6 mặt, gieo đồng thời hai con súc sắc thì có $6 \times 6 = 36$ kết quả có thể xảy ra. b) Sai vì tổng số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc bằng 3 chỉ có thể là (1, 2) và (2, 1). Vậy xác suất là $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. c) Đúng vì có ít nhất một mặt 5 chấm xuất hiện có thể là (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6). Vậy xác suất là $\frac{11}{36}$. d) Đúng vì tổng số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc bé hơn 4 chỉ có thể là (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2). Vậy xác suất là $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. e) Sai vì mặt 6 chấm xuất hiện đúng một lần có thể là (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5). Vậy số kết quả có lợi là 10. Câu 1. Điều kiện: $1 - x \geq 0$ hay $x \leq 1$. Bình phương hai vế ta được: \[2x^2 + x + 3 = (1 - x)^2\] \[2x^2 + x + 3 = 1 - 2x + x^2\] \[x^2 + 3x + 2 = 0\] Phương trình này có các nghiệm là: \[x_1 = -1 \quad \text{và} \quad x_2 = -2\] Kiểm tra điều kiện: - Với $x = -1$: Thỏa mãn điều kiện $x \leq 1$. - Với $x = -2$: Thỏa mãn điều kiện $x \leq 1$. Vậy các nghiệm của phương trình là $x = -1$ và $x = -2$. Tổng các nghiệm là: \[-1 + (-2) = -3\] Đáp số: Tổng các nghiệm là $-3$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của hypebol từ điều kiện đã cho. 2. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\). 3. Tính tổng \(a + b\). Bước 1: Xác định các thông số của hypebol Hypebol có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Điểm \(A(4;0)\) nằm trên hypebol, do đó thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình hypebol: \[ \frac{4^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{16}{a^2} = 1 \] \[ a^2 = 16 \] \[ a = 4 \] (vì \(a > 0\)) Bước 2: Tìm giá trị của \(b\) Tiêu cự của hypebol là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, được tính bằng \(2c\), trong đó \(c\) là khoảng cách từ tâm hypebol đến mỗi tiêu điểm. Ta biết rằng tiêu cự bằng 10, do đó: \[ 2c = 10 \] \[ c = 5 \] Trong hypebol, mối liên hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Thay \(a = 4\) và \(c = 5\) vào phương trình trên: \[ 5^2 = 4^2 + b^2 \] \[ 25 = 16 + b^2 \] \[ b^2 = 9 \] \[ b = 3 \] (vì \(b > 0\)) Bước 3: Tính tổng \(a + b\) \[ a + b = 4 + 3 = 7 \] Vậy, \(a + b\) bằng 7. Đáp số: \(a + b = 7\). Câu 3. Phương trình chính tắc của parabol có dạng: $y^2 = 2px$ (với $p > 0$). Điểm $A(6;36)$ thuộc parabol, do đó tọa độ của điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình của parabol: \[ 36^2 = 2p \cdot 6 \] Tính toán: \[ 1296 = 12p \] \[ p = \frac{1296}{12} \] \[ p = 108 \] Vậy tham số tiêu $p$ của parabol là 108. Đáp số: $p = 108$. Câu 4. Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn từ các số thuộc tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6,7\}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn chữ số hàng đơn vị: - Để số tự nhiên là số chẵn, chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số chẵn: 0, 2, 4, 6. - Ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị. 2. Chọn chữ số hàng nghìn: - Chữ số hàng nghìn không thể là 0 vì số đó sẽ không còn là số có 4 chữ số. - Nếu chữ số hàng đơn vị đã chọn là 0, ta còn lại 7 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). - Nếu chữ số hàng đơn vị đã chọn là 2, 4 hoặc 6, ta còn lại 6 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn không thể trùng với chữ số hàng đơn vị). 3. Chọn chữ số hàng trăm: - Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng nghìn, ta còn lại 6 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (vì các chữ số phải khác nhau). 4. Chọn chữ số hàng chục: - Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, hàng nghìn và hàng trăm, ta còn lại 5 lựa chọn cho chữ số hàng chục. Bây giờ, ta tính tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn: - Trường hợp chữ số hàng đơn vị là 0: - Chữ số hàng nghìn có 7 lựa chọn. - Chữ số hàng trăm có 6 lựa chọn. - Chữ số hàng chục có 5 lựa chọn. - Tổng số trường hợp: $7 \times 6 \times 5 = 210$. - Trường hợp chữ số hàng đơn vị là 2, 4 hoặc 6: - Chữ số hàng nghìn có 6 lựa chọn. - Chữ số hàng trăm có 6 lựa chọn. - Chữ số hàng chục có 5 lựa chọn. - Tổng số trường hợp: $3 \times 6 \times 6 \times 5 = 540$. Tổng cộng, số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn là: \[ 210 + 540 = 750 \] Vậy, từ các số thuộc tập $A$, ta có thể lập được 750 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn 5 viên bi từ túi sao cho có nhiều nhất 3 viên bi xanh. Ta sẽ xem xét từng trường hợp riêng lẻ và cộng lại. Trường hợp 1: Chọn 0 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ - Số cách chọn 0 viên bi xanh từ 8 viên bi xanh: $\binom{8}{0} = 1$ - Số cách chọn 5 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ: $\binom{6}{5} = 6$ Số cách trong trường hợp này: \[ 1 \times 6 = 6 \] Trường hợp 2: Chọn 1 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ - Số cách chọn 1 viên bi xanh từ 8 viên bi xanh: $\binom{8}{1} = 8$ - Số cách chọn 4 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ: $\binom{6}{4} = 15$ Số cách trong trường hợp này: \[ 8 \times 15 = 120 \] Trường hợp 3: Chọn 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 8 viên bi xanh: $\binom{8}{2} = 28$ - Số cách chọn 3 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ: $\binom{6}{3} = 20$ Số cách trong trường hợp này: \[ 28 \times 20 = 560 \] Trường hợp 4: Chọn 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ - Số cách chọn 3 viên bi xanh từ 8 viên bi xanh: $\binom{8}{3} = 56$ - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ: $\binom{6}{2} = 15$ Số cách trong trường hợp này: \[ 56 \times 15 = 840 \] Tổng số cách chọn Tổng số cách chọn 5 viên bi sao cho có nhiều nhất 3 viên bi xanh là tổng của các trường hợp trên: \[ 6 + 120 + 560 + 840 = 1526 \] Vậy, có 1526 cách chọn sao cho có nhiều nhất 3 viên bi xanh. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp "cắm cọc" để đảm bảo rằng không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau. Bước 1: Xếp 5 bạn nữ thành một hàng ngang. Có 5! cách xếp 5 bạn nữ: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Bước 2: Xác định các vị trí có thể đặt 2 bạn nam. Khi 5 bạn nữ đã được xếp, chúng tạo ra 6 khoảng trống (gọi là "cọc") để đặt 2 bạn nam, bao gồm cả hai đầu hàng và giữa các bạn nữ: \[ - N - N - N - N - N - \] Ở đây, mỗi dấu "-" đại diện cho một khoảng trống có thể đặt một bạn nam. Bước 3: Chọn 2 trong 6 khoảng trống để đặt 2 bạn nam. Số cách chọn 2 khoảng trống từ 6 khoảng trống là: \[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Bước 4: Xếp 2 bạn nam vào 2 khoảng trống đã chọn. Có 2! cách xếp 2 bạn nam: \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] Bước 5: Tính tổng số cách xếp 2 bạn nam và 5 bạn nữ theo yêu cầu của đề bài: \[ 120 \times 15 \times 2 = 3600 \] Vậy, có 3600 cách xếp 2 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau.