Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S: $\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=9$. Gọi I là tâm, R là bán kính của mặt cầu $\left(S\right)$. Xét tính Đ/S a. Mặt cầu $\left(S\right)$ có...

………

a. Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, với tâm $I(a,b,c)$ và bán kính $R$.

So sánh với phương trình mặt cầu đề cho $(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2 = 9$, ta có tâm $I(2, -1, 1)$ và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$. Vậy câu a đúng.

b. Khoảng cách từ điểm $M(1, 3, 5)$ đến tâm $I(2, -1, 1)$ là:

$IM = \sqrt{(1-2)^2 + (3-(-1))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{1+16+16} = \sqrt{33}$.

Vì $\sqrt{33} > 3 = R$ nên điểm $M$ nằm bên ngoài mặt cầu $(S)$. Vậy câu b sai.

c. Khoảng cách từ tâm $I(2, -1, 1)$ đến mặt phẳng $(P):$ $x + 2y - 2z + 8 = 0$ là

$d(I, (P)) = \frac{|2 + 2(-1) - 2(1) + 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 - 2 + 8|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{6}{3} = 2$.

Bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$.

Vậy câu c sai.

d. Đường thẳng d có phương trình tham số:

$x = 1+t$

$y = t$

$z = 3-t$

Thay vào phương trình mặt cầu $(S):$

$(1+t-2)^2 + (t+1)^2 + (3-t-1)^2 = 9$

$(t-1)^2 + (t+1)^2 + (2-t)^2 = 9$

$t^2 - 2t + 1 + t^2 + 2t + 1 + 4 - 4t + t^2 = 9$

$3t^2 - 4t + 6 = 9$

$3t^2 - 4t - 3 = 0$

Gọi $t_1, t_2$ là hai nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-et: $t_1 + t_2 = \frac{4}{3}$ và $t_1t_2 = -1$.

$AB = |t_1 - t_2|\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{(t_1-t_2)^2}\sqrt{3} = \sqrt{(t_1+t_2)^2 - 4t_1t_2}\sqrt{3} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 4(-1)}\sqrt{3} = \sqrt{\frac{16}{9} + 4}\sqrt{3} = \sqrt{\frac{16+36}{9}}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{9}}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{3}}\sqrt{3} = 2\sqrt{13}$

Diện tích tam giác IAB: $S = \frac{1}{2}IA.IB.sin(AIB) = \frac{1}{2}.3.3.\frac{AB}{2R} = \frac{9}{4}.\frac{2\sqrt{13}}{2.3} = \frac{9}{4}.\frac{\sqrt{13}}{3} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$.

Vậy diện tích tam giác IAB không bằng $\frac{\sqrt{182}}{3}$. Vậy câu d sai.