Trả lời câu hỏi giúp tôi

Câu 28. Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;1).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x - 1) - (x^2 + 3x)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Phân tích mẫu số: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Để xác định dấu của đạo hàm, ta xét các khoảng do các nghiệm của tử số và mẫu số chia ra: - Khi \( x < -1 \), cả \( x - 3 \) và \( x + 1 \) đều âm, nên \( f'(x) > 0 \). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( x - 3 \) âm và \( x + 1 \) dương, nên \( f'(x) < 0 \). Vậy hàm số không đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 1) \). Phát biểu này sai. b) Giá trị cực đại của hàm số $y=f(x)$ bằng 1. Ta tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} = 0 \] Từ đây, ta có: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( 1 < x < 3 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 3 \), \( f'(x) > 0 \) Vậy \( x = -1 \) là điểm cực đại và \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1)}{-1 - 1} = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] Giá trị cực đại của hàm số là 1. Phát biểu này đúng. c) Hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị. Chúng ta đã tìm thấy hai điểm cực trị là \( x = -1 \) (cực đại) và \( x = 3 \) (cực tiểu). Do đó, phát biểu này sai. d) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \) được tìm bằng phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = x + 4 + \frac{4}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{4}{x - 1} \to 0 \), vậy tiệm cận xiên là \( y = x + 4 \). Tiệm cận xiên cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 4) \) và cắt trục \( Ox \) tại điểm \( (-4, 0) \). Diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và hai trục tọa độ: \[ S = \frac{1}{2} \times |4| \times |-4| = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \] Phát biểu này đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 29. a) Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2.$ - Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Do đó, phát biểu này đúng. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1).$ - Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=2$. Trên khoảng $(0;1)$, hàm số đang giảm dần, tức là nghịch biến. Do đó, phát biểu này đúng. c) Trên khoảng $(-\infty;2),$ hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và có giá trị nhỏ nhất là -2. - Trên khoảng $(-\infty;2)$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0) = 1$. Tuy nhiên, không có thông tin về giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng này từ bảng biến thiên. Do đó, phát biểu này chưa chắc chắn. d) Phương trình $f(x)+1=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt. - Phương trình $f(x)+1=0$ tương đương với $f(x)=-1$. Bảng biến thiên cho thấy hàm số cắt đường thẳng $y=-1$ tại ba điểm khác nhau, do đó phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Phát biểu này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Chưa chắc chắn d) Đúng Câu 30. Để giải quyết các câu hỏi về hàm số $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 - x + 1)'(x - 1) - (x^2 - x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Đặt $y' = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra dấu của $y'$ trong các khoảng: - Khi $x < 0$, $y' < 0$ - Khi $0 < x < 1$, $y' > 0$ - Khi $1 < x < 2$, $y' < 0$ - Khi $x > 2$, $y' > 0$ Do đó: - Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. b) Xác định khoảng nghịch biến Từ bảng xét dấu của $y'$, ta thấy: - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 1)$ và $(1, 2)$. c) Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng của hàm số là các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] d) Xác định đường tiệm cận xiên Để tìm đường tiệm cận xiên, ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0 \] Phân tích: \[ \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1} \] Khi $x \to \infty$, $\frac{1}{x - 1} \to 0$. Do đó, đường tiệm cận xiên là: \[ y = x \] Kết luận: - a) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$. - b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 1)$ và $(1, 2)$. - c) Tiệm cận đứng là $x = 1$. - d) Đường tiệm cận xiên là $y = x$. Câu 31. a) Đúng vì theo bảng xét dấu đạo hàm, $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng này. b) Sai vì điểm cực tiểu của hàm số là giá trị của $f(x)$ tại điểm $x=3$, không phải là 3. c) Đúng vì theo bảng xét dấu đạo hàm, hàm số có hai điểm cực trị là $x=1$ và $x=3$. Tại $x=1$, đạo hàm chuyển từ âm sang dương, tức là hàm số đạt cực tiểu. Tại $x=3$, đạo hàm chuyển từ dương sang âm, tức là hàm số đạt cực đại. Do đó, hai điểm cực trị này trái dấu nhau. d) Đúng vì giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(x) = f'(x)$ trên đoạn $[1;3]$ là giá trị của $f'(x)$ tại điểm $x=2$, vì đạo hàm $f'(x) = 3x^2 + bx + c$ là một hàm bậc hai mở rộng lên, do đó giá trị nhỏ nhất của nó trên đoạn $[1;3]$ sẽ nằm ở đỉnh của parabol, tức là tại $x = -\frac{b}{2 \cdot 3} = 2$. Biết rằng $f'(2) = 2$, suy ra giá trị nhỏ nhất của $h(x)$ trên đoạn $[1;3]$ là 2. Đáp án đúng là: a, c, d. Câu 32. a) Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+2}{x-1}$, ta cần tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến giá trị làm mẫu số bằng 0, tức là $x = 1$. Ta có: \[ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \] Khi $x$ tiến đến 1, mẫu số $(x - 1)$ tiến đến 0, dẫn đến phân thức không xác định. Do đó, ta có thể suy ra rằng đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Để tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1}$, ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó, $u = x^2 + x + 2$ và $v = x - 1$. Ta tính đạo hàm của $u$ và $v$: \[ u' = (x^2 + x + 2)' = 2x + 1 \] \[ v' = (x - 1)' = 1 \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)(1)}{(x - 1)^2} \] Tính toán chi tiết: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - x^2 - 2x + x - x - 1 - 2}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Do đó, đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Đáp số: a) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$. b) Đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$.