giải chi tiết 3)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai $x^2 - (m+1)x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo định lý Viète: \[ x_1 + x_2 = m + 1 \] \[ x_1 x_2 = m \] Bước 2: Sử dụng điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3$. Gọi $\sqrt{x_1} = a$ và $\sqrt{x_2} = b$, ta có: \[ a + b = 3 \] \[ x_1 = a^2 \] \[ x_2 = b^2 \] Bước 3: Thay vào các biểu thức theo định lý Viète. \[ a^2 + b^2 = m + 1 \] \[ a^2 b^2 = m \] Bước 4: Tìm giá trị của $a$ và $b$. Ta biết rằng: \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] \[ 3^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] \[ 9 = a^2 + b^2 + 2ab \] Từ đây, ta có: \[ a^2 + b^2 = 9 - 2ab \] Bước 5: Thay vào biểu thức $a^2 + b^2 = m + 1$. \[ 9 - 2ab = m + 1 \] \[ m = 8 - 2ab \] Bước 6: Thay vào biểu thức $a^2 b^2 = m$. \[ ab = \sqrt{m} \] \[ ab = \sqrt{8 - 2ab} \] Bước 7: Giải phương trình $ab = \sqrt{8 - 2ab}$. \[ (ab)^2 = 8 - 2ab \] \[ t^2 + 2t - 8 = 0 \] (với $t = ab$) \[ (t + 4)(t - 2) = 0 \] \[ t = -4 \text{ hoặc } t = 2 \] Do $ab$ phải là số dương, nên $ab = 2$. Bước 8: Tìm giá trị của $m$. \[ m = 8 - 2 \cdot 2 = 4 \] Bước 9: Tìm giá trị của $x_1$ và $x_2$. \[ x_1 + x_2 = 5 \] \[ x_1 x_2 = 4 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 4) = 0 \] \[ x_1 = 1, x_2 = 4 \text{ hoặc } x_1 = 4, x_2 = 1 \] Bước 10: Tính $x_1^3 + x_2^3$. \[ x_1^3 + x_2^3 = 1^3 + 4^3 = 1 + 64 = 65 \] Vậy, $x_1^3 + x_2^3 = 65$. Bài IV. Để tính thể tích của quả nặng có dạng hình cầu với đường kính bằng 4 cm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định bán kính của quả nặng. - Đường kính của quả nặng là 4 cm, do đó bán kính \( r \) sẽ là: \[ r = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \] Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích của hình cầu. - Công thức tính thể tích \( V \) của hình cầu là: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] - Thay giá trị bán kính \( r = 2 \) cm vào công thức: \[ V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 \] \[ V = \frac{4}{3} \pi \times 8 \] \[ V = \frac{32}{3} \pi \] Bước 3: Tính thể tích cụ thể. - Sử dụng giá trị \( \pi \approx 3.14 \): \[ V \approx \frac{32}{3} \times 3.14 \] \[ V \approx 33.49 \text{ cm}^3 \] Vậy thể tích của quả nặng là khoảng 33.49 cm³.