vhvvjijjjnn

Câu 1: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u=(3;4).$ Để kiểm tra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần xem xét phương trình của đường thẳng $\Delta$. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $3x - 4y - 17 = 0$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng này là $\overrightarrow{u} = (3; -4)$, không phải là $\overrightarrow{u} = (3; 4)$. Do đó, mệnh đề này là sai. b) Đường thẳng $\Delta:3x-4y-17=0$ song song với $\Delta:3x-4y-1=0.$ Hai đường thẳng song song nếu chúng có cùng vectơ chỉ phương. Phương trình của cả hai đường thẳng đều có dạng $3x - 4y + c = 0$, do đó vectơ chỉ phương của cả hai đường thẳng là $\overrightarrow{u} = (3; -4)$. Vì vậy, hai đường thẳng này song song. Mệnh đề này là đúng. c) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ bằng 3. Khoảng cách từ điểm $A(1; -1)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 17 = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) - 17|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 4 - 17|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10|}{5} = 2 \] Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ là 2, không phải là 3. Mệnh đề này là sai. d) Đường tròn tâm A và đi qua điểm B có phương trình là $(x-1)^2+(y-1)^2=5.$ Đường tròn tâm A và đi qua điểm B có bán kính là khoảng cách giữa A và B. Ta tính khoảng cách này: \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Phương trình của đường tròn tâm A và bán kính $\sqrt{5}$ là: \[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5 \] Do đó, phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=5$ là sai. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 2. a) Đúng vì vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=(2;1)$, do đó $\overrightarrow{n}(1;2)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ (vì $\overrightarrow{n}(1;2)=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}(2;1)$). b) Sai vì thay tọa độ điểm $A(1;-1)$ vào phương trình của đường thẳng $\Delta$, ta có $2\times 1 + (-1) - 1 = 0$. Điều này không đúng, nên điểm $A$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. c) Sai vì khoảng cách từ điểm $B(4;-2)$ đến trục hoành là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm $B$, tức là $|-2| = 2$. Do đó, khoảng cách từ điểm $B$ đến trục hoành là 2, không phải $\sqrt{5}$. d) Đúng vì đường tròn tâm $I(3;4)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$. Ta tính khoảng cách từ điểm $I(3;4)$ đến đường thẳng $\Delta$: \[ d = \frac{|2 \times 3 + 1 \times 4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 4 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}. \] Do đó, phương trình của đường tròn là $(x-3)^2 + (y-4)^2 = \left(\frac{9\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{81 \times 5}{25} = \frac{405}{25} = 16.2$. Tuy nhiên, theo đề bài, phương trình của đường tròn là $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 29$, do đó mệnh đề này sai. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 3. a) Chọn ra hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia vào Đội cờ đỏ: - Số cách chọn 1 nam từ 17 nam: $\binom{17}{1} = 17$ - Số cách chọn 1 nữ từ 13 nữ: $\binom{13}{1} = 13$ - Tổng số cách chọn: $17 \times 13 = 221$ cách b) Chọn ra ba bạn trực nhật lớp, trong đó phân công một bạn quét lớp, một bạn quét sân và một bạn lau bảng: - Số cách chọn 3 bạn từ 30 học sinh: $\binom{30}{3} = 4060$ - Số cách phân công 3 công việc cho 3 bạn: $3! = 6$ - Tổng số cách chọn: $4060 \times 6 = 24360$ cách c) Chọn ra ba bạn tham gia hoạt động thiện nguyện, trong đó phải có lớp trưởng và có ít nhất một nữ: - Lớp trưởng đã được chọn, còn lại cần chọn 2 bạn từ 29 học sinh còn lại. - Số cách chọn 2 bạn từ 29 học sinh: $\binom{29}{2} = 406$ - Số cách chọn 2 bạn đều là nam từ 16 nam còn lại: $\binom{16}{2} = 120$ - Số cách chọn 2 bạn có ít nhất một nữ: $406 - 120 = 286$ cách d) Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 14 bạn đứng hàng trước và 16 bạn đứng hàng sau: - Số cách chọn 14 bạn từ 30 học sinh: $\binom{30}{14}$ - Số cách sắp xếp 14 bạn trong hàng trước: $14!$ - Số cách sắp xếp 16 bạn trong hàng sau: $16!$ - Tổng số cách sắp xếp: $\binom{30}{14} \times 14! \times 16!$ Đáp số: a) 221 cách b) 24360 cách c) 286 cách d) $\binom{30}{14} \times 14! \times 16!$ cách Câu 4. a) Chọn một học sinh trong lớp 10A vào vị trí lớp trưởng: - Số học sinh trong lớp 10A là 16 nam + 18 nữ = 34 học sinh. - Số cách chọn là 34 cách. b) Chọn hai học sinh trong lớp 10A gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ: - Số cách chọn 1 học sinh nam từ 16 học sinh nam là 16 cách. - Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ là 18 cách. - Tổng số cách chọn là 16 × 18 = 288 cách. c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10A vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư: - Số cách chọn 3 học sinh nam từ 16 học sinh nam là 16 × 15 × 14 = 3360 cách. - Tuy nhiên, vì các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư khác nhau, nên ta chia cho số cách sắp xếp 3 học sinh này là 3! = 6. - Số cách chọn là $\frac{3360}{6} = 560$ cách. d) Chọn 4 học sinh trong lớp 10A tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ: - Trường hợp 1: Chọn 4 học sinh nam từ 16 học sinh nam. - Số cách chọn là $\binom{16}{4} = 1820$ cách. - Trường hợp 2: Chọn 3 học sinh nam từ 16 học sinh nam và 1 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ. - Số cách chọn là $\binom{16}{3} \times \binom{18}{1} = 560 \times 18 = 10080$ cách. - Tổng số cách chọn là 1820 + 10080 = 11900 cách. Đáp số: a) 34 cách b) 288 cách c) 560 cách d) 11900 cách Câu 1. Để tìm tọa độ tâm $I(a; b)$ của đường tròn $(C):~x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương: \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + 1 = 0 \] \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, ta nhận thấy: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad R^2 = 4 \] Do đó, tâm của đường tròn là $I(1; -2)$. Bước 4: Tính giá trị của $a + b$: \[ a + b = 1 + (-2) = -1 \] Vậy giá trị của $a + b$ là $\boxed{-1}$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào phương trình của đường tròn và xác định tâm và bán kính từ đó. Phương trình của đường tròn $(C)$ được cho là: \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm $(a; b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh phương trình đã cho với phương trình tổng quát, ta nhận thấy: - Tâm của đường tròn $(C)$ là $(-2; -3)$, tức là $a = -2$ và $b = -3$. - Bán kính của đường tròn $(C)$ là $\sqrt{25} = 5$, tức là $c = 5$. Vậy giá trị của $a + b + c$ là: \[ a + b + c = (-2) + (-3) + 5 = 0 \] Đáp số: $a + b + c = 0$. Câu 3. Để tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định chữ số cuối cùng: - Một số chia hết cho 5 nếu chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5. - Vì số cần tìm có bốn chữ số khác nhau, nên chữ số cuối cùng có thể là 0 hoặc 5. 2. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 0: - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không được lặp lại với chữ số cuối cùng là 0), tức là có 9 lựa chọn. - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 trừ đi chữ số đã chọn cho hàng trăm, tức là có 8 lựa chọn. - Chữ số hàng nghìn có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 trừ đi hai chữ số đã chọn cho hàng trăm và hàng chục, tức là có 7 lựa chọn. - Tổng số trường hợp này là: \(9 \times 8 \times 7 = 504\). 3. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 5: - Chữ số hàng nghìn có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 trừ đi chữ số 5, tức là có 8 lựa chọn. - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi hai chữ số đã chọn cho hàng nghìn và hàng đơn vị, tức là có 8 lựa chọn. - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi ba chữ số đã chọn cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị, tức là có 7 lựa chọn. - Tổng số trường hợp này là: \(8 \times 8 \times 7 = 448\). 4. Tổng hợp kết quả: - Tổng số các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là tổng của hai trường hợp trên: \[ 504 + 448 = 952 \] Vậy, có 952 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Câu 4. Để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x+1)^4 \) và \( (2x-1)^5 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Khai triển \( (x+1)^4 \) Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng cho \( (x+1)^4 \): \[ (x+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 1^k \] Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \). Điều này tương ứng với \( 4 - k = 3 \), tức là \( k = 1 \). Hệ số của \( x^3 \) là: \[ \binom{4}{1} = 4 \] Khai triển \( (2x-1)^5 \) Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng cho \( (2x-1)^5 \): \[ (2x-1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-1)^k \] Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \). Điều này tương ứng với \( 5 - k = 3 \), tức là \( k = 2 \). Hệ số của \( x^3 \) là: \[ \binom{5}{2} (2)^{5-2} (-1)^2 = \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot 1 = 10 \cdot 8 = 80 \] Kết luận Hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x+1)^4 \) là 4. Hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (2x-1)^5 \) là 80. Câu 5. Để tính $a + b + c$, ta cần xác định các hệ số $a$, $b$, và $c$ của parabol $(P)$ có phương trình $y = ax^2 + bx + c$. Biết rằng parabol $(P)$ đi qua điểm $A(0;3)$ và có đỉnh $I(-1;2)$. Bước 1: Xác định $c$ từ điểm $A(0;3)$ - Thay tọa độ điểm $A(0;3)$ vào phương trình $y = ax^2 + bx + c$: \[ 3 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ 3 = c \] Bước 2: Xác định $a$ và $b$ từ đỉnh $I(-1;2)$ - Ta biết rằng đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ có tọa độ $\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Do đó, ta có: \[ -\frac{b}{2a} = -1 \] \[ b = 2a \] - Thay tọa độ đỉnh $I(-1;2)$ vào phương trình $y = ax^2 + bx + c$: \[ 2 = a(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 2 = a - b + c \] Bước 3: Thay $c = 3$ và $b = 2a$ vào phương trình $2 = a - b + c$ \[ 2 = a - 2a + 3 \] \[ 2 = -a + 3 \] \[ a = 1 \] Bước 4: Xác định $b$ \[ b = 2a = 2 \times 1 = 2 \] Bước 5: Tính $a + b + c$ \[ a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6 \] Vậy $a + b + c = 6$. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn các kí tự cho từng phần của mật khẩu và sau đó nhân các kết quả lại với nhau. 1. Chọn 3 chữ cái đầu tiên từ 26 chữ cái in thường: - Chọn chữ cái thứ nhất: Có 26 lựa chọn. - Chọn chữ cái thứ hai: Có 25 lựa chọn (vì chữ cái thứ hai phải khác chữ cái thứ nhất). - Chọn chữ cái thứ ba: Có 24 lựa chọn (vì chữ cái thứ ba phải khác cả hai chữ cái trước). Số cách chọn 3 chữ cái đầu tiên: \[ 26 \times 25 \times 24 \] 2. Chọn 5 chữ số tiếp theo từ 10 chữ số (0 đến 9): - Chọn chữ số thứ nhất: Có 10 lựa chọn. - Chọn chữ số thứ hai: Có 9 lựa chọn (vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất). - Chọn chữ số thứ ba: Có 8 lựa chọn (vì chữ số thứ ba phải khác cả hai chữ số trước). - Chọn chữ số thứ tư: Có 7 lựa chọn (vì chữ số thứ tư phải khác cả ba chữ số trước). - Chọn chữ số thứ năm: Có 6 lựa chọn (vì chữ số thứ năm phải khác cả bốn chữ số trước). Số cách chọn 5 chữ số tiếp theo: \[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \] 3. Tính tổng số cách tạo mật khẩu: Nhân số cách chọn 3 chữ cái đầu tiên với số cách chọn 5 chữ số tiếp theo: \[ (26 \times 25 \times 24) \times (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) \] Tính toán cụ thể: \[ 26 \times 25 = 650 \] \[ 650 \times 24 = 15600 \] \[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] \[ 720 \times 7 = 5040 \] \[ 5040 \times 6 = 30240 \] \[ 15600 \times 30240 = 472780800 \] Vậy, số cách tạo ra mật khẩu là: \[ \boxed{472780800} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách lấy 3 quả cầu có cùng màu từ mỗi hộp. 1. Tính số cách lấy 3 quả cầu xanh: - Từ hộp A, có 3 quả cầu xanh. - Từ hộp B, có 4 quả cầu xanh. - Từ hộp C, có 5 quả cầu xanh. Số cách lấy 3 quả cầu xanh từ cả ba hộp là: \[ 3 \times 4 \times 5 = 60 \] 2. Tính số cách lấy 3 quả cầu đỏ: - Từ hộp A, có 4 quả cầu đỏ. - Từ hộp B, có 3 quả cầu đỏ. - Từ hộp C, có 5 quả cầu đỏ. Số cách lấy 3 quả cầu đỏ từ cả ba hộp là: \[ 4 \times 3 \times 5 = 60 \] 3. Tính số cách lấy 3 quả cầu trắng: - Từ hộp A, có 5 quả cầu trắng. - Từ hộp B, có 6 quả cầu trắng. - Từ hộp C, có 2 quả cầu trắng. Số cách lấy 3 quả cầu trắng từ cả ba hộp là: \[ 5 \times 6 \times 2 = 60 \] Cuối cùng, tổng số cách lấy 3 quả cầu có cùng màu là: \[ 60 + 60 + 60 = 180 \] Vậy, có tất cả 180 cách lấy để cuối cùng được 3 quả cầu có màu giống nhau. Câu 8. Để tính xác suất khi lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 3 viên bi từ hộp - Tổng số viên bi trong hộp là: 4 + 3 + 2 = 9 viên bi. - Số cách chọn 3 viên bi từ 9 viên bi là: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] Bước 2: Xác định số cách chọn 3 viên bi sao cho thỏa mãn yêu cầu của đề bài - Ta cần xác định các trường hợp cụ thể mà đề bài yêu cầu. Tuy nhiên, đề bài chưa cung cấp chi tiết về yêu cầu cụ thể (ví dụ: tất cả 3 viên bi cùng màu, 2 viên bi cùng màu và 1 viên bi khác màu, v.v.). Do đó, ta sẽ giả định rằng đề bài yêu cầu tính xác suất để 3 viên bi được chọn có ít nhất 1 viên bi xanh. Bước 3: Xác định số cách chọn 3 viên bi mà không có viên bi xanh nào - Số cách chọn 3 viên bi từ 5 viên bi còn lại (không có viên bi xanh): \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Bước 4: Xác định số cách chọn 3 viên bi mà có ít nhất 1 viên bi xanh - Số cách chọn 3 viên bi mà có ít nhất 1 viên bi xanh là: \[ 84 - 10 = 74 \] Bước 5: Tính xác suất - Xác suất để 3 viên bi được chọn có ít nhất 1 viên bi xanh là: \[ P = \frac{74}{84} = \frac{37}{42} \] Đáp số: \[ \frac{37}{42} \]