giải chi tiết

Câu 9. Để kiểm tra từng mệnh đề, ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản về tổ hợp và hoán vị. - Công thức tổ hợp: \( C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Công thức hoán vị: \( A^n_k = \frac{n!}{(n-k)!} \) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: Mệnh đề A: \( A^k_n = k! \cdot C^k_n \) Ta có: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] \[ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Nhân cả hai vế của \( C^k_n \) với \( k! \): \[ k! \cdot C^k_n = k! \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!} = A^k_n \] Vậy mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: \( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Đây là công thức chuẩn xác của tổ hợp, nên mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: \( C^k_n = C^{n-k}_n \) Theo tính chất của tổ hợp: \[ C^k_n = C^{n-k}_n \] Vậy mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: \( A^k_n = n! \cdot C^k_n \) Ta có: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] \[ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Nhân cả hai vế của \( C^k_n \) với \( n! \): \[ n! \cdot C^k_n = n! \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{(n!)^2}{k!(n-k)!} \neq \frac{n!}{(n-k)!} = A^k_n \] Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề sai là D. Câu 10. Để tìm hệ số của \( x^2y^2 \) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \( (x + 2y)^4 \), ta sử dụng công thức nhị thức Niu-tơn: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = 2y \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^2y^2 \). Theo công thức nhị thức Niu-tơn, mỗi hạng tử trong khai triển có dạng: \[ \binom{4}{k} x^{4-k} (2y)^k \] Ta cần tìm \( k \) sao cho \( x^{4-k} y^k = x^2 y^2 \). Điều này yêu cầu: \[ 4 - k = 2 \quad \text{và} \quad k = 2 \] Do đó, \( k = 2 \). Thay \( k = 2 \) vào công thức, ta có: \[ \binom{4}{2} x^{4-2} (2y)^2 = \binom{4}{2} x^2 (2y)^2 \] Tính toán tiếp: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] \[ (2y)^2 = 4y^2 \] Vậy hạng tử tương ứng là: \[ 6 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 24x^2y^2 \] Hệ số của \( x^2y^2 \) là 24. Đáp án đúng là: C. 24. Câu 11. Khi gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần, mỗi lần gieo có thể xuất hiện hai kết quả: mặt ngửa (H) hoặc mặt sấp (T). Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu 2 lần: 1. Kết quả đầu tiên là H và kết quả thứ hai là H: (H, H) 2. Kết quả đầu tiên là H và kết quả thứ hai là T: (H, T) 3. Kết quả đầu tiên là T và kết quả thứ hai là H: (T, H) 4. Kết quả đầu tiên là T và kết quả thứ hai là T: (T, T) Như vậy, không gian mẫu $\Omega$ bao gồm các phần tử sau: \[ \Omega = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\} \] Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ là 4. Vậy đáp án đúng là D. 4. Câu 12. Khi gieo một con súc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các mặt có số chấm chẵn là: 2, 4, 6. Số lượng các kết quả có thể xảy ra là 6. Số lượng các kết quả mong muốn (mặt có số chấm chẵn) là 3. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: \[ P = \frac{\text{số lượng kết quả mong muốn}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Vậy đáp án đúng là B. 0,5.