Giúp mình với!

#🌷🌷🌷Dưới đây là lời giải cho các phần của đề bài:

a) Rút gọn biểu thức:

A=1+12+122+123+⋯+122025

A=1+2

1

​+22

1

​+23

1

​+⋯+22025

1

​

Đây là một phép tính tổng của một cấp số nhân (hệ số công là 12

2

1

​):

Công thức tổng cấp số nhân vô hạn (khi ∣q∣<1

∣q∣<1) là:

S∞=a11−q

S∞

​=1−q

a1

​

​

Trong trường hợp này:

• a1=1
• a1
• ​=1
• q=12
• q=2
• 
  
• 1
• ​

Tuy nhiên, tổng này chỉ tích có hạn (đến n=2025

n=2025), nên công thức tổng có hạn là:

A=a1(1−qn+1)1−q

A=1−q

a1

​(1−qn+1

)

​

Với a1=1

a1

​=1, q=12

q=2

1

​, n=2025

n=2025:

A=1×(1−(12)2026)1−12=1−12202612=2(1−122026)

A=1−2

1

​

1×(1−(2

1

​)2026

)

​=2

1

​

1−22026

1

​

​=2(1−22026

1

​)

Vậy:

A=2(1−122026)

A=2(1−22026

1

​)

​

b) Chứng minh S < 1, với:

S=31.4+34.7+37.10+⋯+340.43

S=1.4

3

​+4.7

3

​+7.10

3

​+⋯+40.43

3

​

Chú ý: Các mẫu số là tích của hai số cách đều nhau:

• 1.4
• 1.4, 4.7
• 4.7, 7.10
• 7.10, ..., 40.43
• 40.43

Ta có thể viết tổng này thành:

S=3(11×4+14×7+17×10+⋯+140×43)

S=3(1×4

1

​+4×7

1

​+7×10

1

​+⋯+40×43

1

​)

Quan sát mẫu số: theo quy luật:

hạng thứ k:maˆ˜u soˆˊ=(3k−2)×(3k+1)

hạng thứ k:ma

ˆ

˜

u so

ˆ

ˊ

=(3k−2)×(3k+1)

với k=1,2,3,…,14

k=1,2,3,…,14 (vì: khi k=14

k=14, 3×14−2=40

3×14−2=40, và 3×14+1=43

3×14+1=43).

Thay vào, ta có:

S=3∑k=1141(3k−2)(3k+1)

S=3k=1

∑

14

​(3k−2)(3k+1)

1

​

Sử dụng phân tích phân thức:

1(3k−2)(3k+1)=A3k−2+B3k+1

(3k−2)(3k+1)

1

​=3k−2

A

​+3k+1

B

​

Giải:

1=A(3k+1)+B(3k−2)

1=A(3k+1)+B(3k−2)

1=(A+B)3k+(A−2B)

1=(A+B)3k+(A−2B)

Ta có hệ:

{A+B=0A−2B=1

{A+B=0

A−2B=1

​

Từ A+B=0⇒A=−B

A+B=0⇒A=−B, thay vào:

−A−2B=1⇒−B−2B=1⇒−3B=1⇒B=−13

−A−2B=1⇒−B−2B=1⇒−3B=1⇒B=−3

1

​

A=−B=13

A=−B=3

1

​

Vậy phân thức thành:

1(3k−2)(3k+1)=1/33k−2−1/33k+1

(3k−2)(3k+1)

1

​=3k−2

1/3

​−3k+1

1/3

​

Nên:

S=3∑k=114(1/33k−2−1/33k+1)=∑k=114(13k−2−13k+1)

S=3k=1

∑

14

​(3k−2

1/3

​−3k+1

1/3

​)=k=1

∑

14

​(3k−2

1

​−3k+1

1

​)

Tổng này có dạng dị dạng:

S=(11−14)+(14−17)+(17−110)+⋯+(140−143)

S=(1

1

​−4

1

​)+(4

1

​−7

1

​)+(7

1

​−10

1

​)+⋯+(40

1

​−43

1

​)

Nối tiếp các phần tử, nhiều số trung gian sẽ bị triệt tiêu, ta thu được:

S=11−143

S=1

1

​−43

1

​

Vậy:

S=1−143=4243<1

S=1−43

1

​=43

42

​<1

​

Chứng minh hoàn toàn:

Vì rõ ràng:

S=4243<1

S=43

42

​<1

c) So sánh:

A=2010+12010−1

A=2010

−1

2010

+1

​

và

B=2010−12010−3

B=2010

−3

2010

−1

​

Ta so sánh A

A và B

B:

• Nhân chéo:

A−B=2010+12010−1−2010−12010−3

A−B=2010

−1

2010

+1

​−2010

−3

2010

−1

​

Viết chung:

A−B=(2010+1)(2010−3)−(2010−1)(2010−1)(2010−1)(2010−3)

A−B=(2010

−1)(2010

−3)

(2010

+1)(2010

−3)−(2010

−1)(2010

−1)

​

Tử số:

(2010+1)(2010−3)−(2010−1)2

(2010

+1)(2010

−3)−(2010

−1)2

Mở rộng:

=(2010×2010−3×2010+2010−3)−[(2010)2−2×2010+1]

=(2010

×2010

−3×2010

+2010

−3)−[(2010

)2

−2×2010

+1]

=(2020−3×2010+2010−3)−(2020−2×2010+1)

=(2020

−3×2010

+2010

−3)−(2020

−2×2010

+1)

Lấy từng phần:

2020−3×2010+2010−3−2020+2×2010−1

2020

−3×2010

+2010

−3−2020

+2×2010

−1

Rút gọn:

(2020−2020)+(−3×2010+2×2010+2010)+(−3−1)

(2020

−2020

)+(−3×2010

+2×2010

+2010

)+(−3−1)

=0+(−3×2010+2×2010+2010)+(−4)

=0+(−3×2010

+2×2010

+2010

)+(−4)

Chú ý: −3×2010+2×2010+2010=(−3+2+1)×2010=0

−3×2010

+2×2010

+2010

=(−3+2+1)×2010

=0

Tóm tắt kết quả:

• a) A=2(1−122026)
• b) S=4243<1
• c) A<B

Bạn cần giải thích rõ hơn hoặc có phần nào chưa rõ, hãy hỏi nhé!