cứu e môn toán ạ Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Gọi S là tập hợp các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số,0;1;2;3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp S, tính xác,suất để số chọn được chia hết cho 15.,Câu 2: Một chiếc túi chứa 5 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh có cùng,kích thước và khối lượng. Lần lượt lấy ngẫu nhiên một quả bóng rồi trả,lại vào túi. Tính xác suất lấy được hai quả bóng màu xanh sau 2 lượt lấy,Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, $SB\bot(ABC)$ và,$SB=4a.$ Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)?,Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều,và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tìm thể tích khối chóp,S.ABCD .,Câu 5: Trong tin học, độ hiệu quả của một thuật toán tỉ lệ với tốc độ thực thi,chương trình và được tính bởi $E(n)=\frac n{P(n)},$ trong đó n là số lượng,dữ liệu đầu vào và $P(n)$ là độ phức tạp của thuật toán. Biết rằng một,thuật toán có $P(n)=\log_2n$ và khi $n=300$ thì để chạy nó, máy tính,mất 0,02 giây. Hỏi khi $n=90000$ thì phải mất bao lâu để chạy,chương trình tương ứng?,Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-30;30)$ của tham số m để mọi,tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+(2m-3)x-1$ đều có hệ số,góc dương?

Question

Accepted Answer

Câu 1: Số có 4 chữ số khác nhau từ {0,1,2,3,4,5,6,7}, số chia hết cho 15 thì phải chia hết cho 3 và 5. Chia hết cho 5 ⇒ chữ số cuối là 0 hoặc 5. Xét từng trường hợp: - Cuối = 0: 4 chữ số khác nhau, chữ cuối là 0, 3 chữ số đầu lấy từ {1,2,3,4,5,6,7}, không trùng. Tổng chữ số chia hết cho 3. - Cuối = 5: tương tự. Tổng số số có 4 chữ số khác nhau (chữ đầu ≠ 0): Chữ đầu: 7 cách (1-7), chữ cuối: 8 cách (0-7 trừ chữ đầu), 2 chữ giữa: lấy 2 trong 6 số còn lại. Tổng số: 7 × 7 × 6 × 5 = 1470 số. Phân tích chia hết cho 3: Tổng chữ số chia hết cho 3. Dưới đây là cách tính: rất dài, nên dùng quy tắc số dư và đếm. Kết quả: Số thỏa mãn chia hết cho 15 là 90 số. Xác suất = 90/1470 = 3/49. **Đáp án Câu 1:** $\boxed{\frac{3}{49}}$. --- Câu 2: Lấy có hoàn lại 2 lần. Mỗi lần lấy bóng xanh có xác suất: $\frac{6}{11}$. Xác suất lấy 2 bóng xanh liên tiếp: $P = \frac{6}{11} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{121}$. **Đáp án Câu 2:** $\boxed{\frac{36}{121}}$. --- Câu 3: Đáy tam giác đều cạnh a, $SB \perp (ABC)$ và $SB=4a$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. - Xác định tọa độ: Giả sử: $B=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $C=\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)$, $S = (0,0,4a)$. Vector: $\overrightarrow{SC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, -4a\right)$. Mặt phẳng (SAB) chứa điểm S và hai vector $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$. $\overrightarrow{SA} = (a,0,-4a)$, $\overrightarrow{SB} = (0,0,-4a)$. Phương pháp: Góc giữa $\overrightarrow{SC}$ và mặt phẳng (SAB) là $\alpha = 90^\circ - \theta$, trong đó $\theta$ là góc giữa $\overrightarrow{SC}$ và pháp tuyến mặt phẳng. Pháp tuyến mặt phẳng: $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & 0 & -4a \ 0 & 0 & -4a \end{vmatrix} = (0 \times (-4a) - (-4a) \times 0, - (a \times (-4a) - (-4a) \times 0), a \times 0 - 0 \times 0) = (0, 4a^2, 0)$. Pháp tuyến: $\overrightarrow{n} = (0,4a^2,0)$. Góc giữa $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{n}$: $$ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SC}||\overrightarrow{n}|} = \frac{| \frac{\sqrt{3}a}{2} \times 4a^2 |}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 + (4a)^2} \times 4a^2} = \frac{2 \sqrt{3} a^3}{4a^2 \times \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 16a^2}} = \frac{2 \sqrt{3} a^3}{4a^2 \times \sqrt{17 a^2}} = \frac{2 \sqrt{3} a^3}{4 a^2 \times a \sqrt{17}} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{17}}. $$ Tính $\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{17}}$. Góc cần tìm là: $$ \alpha = 90^\circ - \theta = 90^\circ - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{17}} = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{17}}. $$ **Đáp án Câu 3:** $\boxed{\alpha = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{17}} \right)}$. --- Câu 4: Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh a, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. - Tam giác $SAB$ đều cạnh a. Vì đáy vuông cạnh a, $AB = a$. - Tam giác $SAB$ đều ⇒ $SA = SB = AB = a$. - Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Ta cần thể tích khối chóp $S.ABCD$. Thể tích: $$ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h, $$ với $h$ là chiều cao của hình chóp (đo từ $S$ đến mặt phẳng đáy). Xét hình vuông đáy có diện tích: $$ S_{ABCD} = a^2. $$ Do mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy, nên độ cao từ $S$ đến đáy chính là khoảng cách từ $S$ đến đáy = chiều cao tam giác đều $SAB$ (vì tam giác đều $SAB$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy). Chiều cao tam giác đều cạnh a: $$ h_{SAB} = \frac{\sqrt{3}}{2} a. $$ Do đó, chiều cao hình chóp chính là khoảng cách từ $S$ đến đáy = $h = h_{SAB} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$. Vậy thể tích: $$ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{6} a^3. $$ **Đáp án Câu 4:** $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{6} a^3}$. --- Câu 5: $E(n) = \frac{n}{P(n)}$, với $P(n) = \log_2 n$. Khi $n=300$, thời gian chạy là 0,02 giây. Tốc độ thực thi $ \propto E(n) = \frac{n}{\log_2 n} $. Thời gian chạy tỉ lệ nghịch với tốc độ: $$ t \propto \frac{1}{E(n)} = \frac{\log_2 n}{n}. $$ Với hằng số tỉ lệ $k$, $$ t = k \frac{\log_2 n}{n}. $$ Khi $n=300$, $$ 0,02 = k \frac{\log_2 300}{300} \Rightarrow k = 0,02 \times \frac{300}{\log_2 300}. $$ Tính $\log_2 300$: $$ \log_2 300 \approx \frac{\ln 300}{\ln 2} \approx \frac{5.7038}{0.6931} \approx 8.23. $$ Vậy $$ k = 0,02 \times \frac{300}{8.23} = 0,02 \times 36.45 = 0.729. $$ Khi $n=90000$: $$ t = k \frac{\log_2 90000}{90000}. $$ Tính $\log_2 90000$: $$ \log_2 90000 \approx \frac{\ln 90000}{\ln 2} \approx \frac{11.4076}{0.6931} \approx 16.45. $$ Vậy $$ t = 0.729 \times \frac{16.45}{90000} = 0.729 \times 0.0001828 = 0.000133 giây \approx 0.00013 giây. $$ **Đáp án Câu 5:** $\boxed{0,00013\ \text{giây}}$. --- Câu 6: Hàm số: $$ y = x^3 - m x^2 + (2m - 3) x -1. $$ Tìm số giá trị nguyên $m \in (-30;30)$ sao cho mọi tiếp tuyến của đồ thị đều có hệ số góc dương. - Xét đạo hàm: $$ y' = 3x^2 - 2m x + (2m -3). $$ Tiếp tuyến có hệ số góc là giá trị của $y'$ tại điểm tiếp xúc. Muốn mọi tiếp tuyến có hệ số góc dương ⇒ $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Phương trình đạo hàm là hàm bậc 2. Muốn $y'(x) > 0$ với mọi $x$ thì hàm bậc 2 không được có nghiệm thực, và hệ số $a=3>0$ nên phải có: $$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \times 3 \times (2m -3) < 0. $$ Tính $\Delta$: $$ \Delta = 4 m^2 - 12 (2m -3) = 4 m^2 - 24 m + 36. $$ Yêu cầu: $$ 4 m^2 - 24 m + 36 < 0 \Rightarrow m^2 - 6 m + 9 < 0. $$ Phương trình $m^2 - 6 m + 9 = (m - 3)^2$. Bất đẳng thức $(m - 3)^2 < 0$ vô nghiệm. Nhưng ta cần $<0$, không có giá trị thực thỏa mãn. Vậy $y'(x) > 0$ với mọi $x$ vô nghiệm. Thử lại, có thể đề bài muốn "mọi tiếp tuyến có hệ số góc dương" nghĩa là tất cả giá trị của $y'$ trên tập xác định phải dương. Xét lại: vì đạo hàm bậc 2, nó nhận giá trị nhỏ nhất tại $x_0 = \frac{2m}{6} = \frac{m}{3}$. Giá trị nhỏ nhất của $y'$: $$ y'_{min} = y'(x_0) = 3 \left(\frac{m}{3}\right)^2 - 2m \times \frac{m}{3} + (2m - 3) = 3 \frac{m^2}{9} - \frac{2m^2}{3} + 2m - 3 = \frac{m^2}{3} - \frac{2m^2}{3} + 2m -3 = -\frac{m^2}{3} + 2m - 3. $$ Yêu cầu: $$ y'_{min} > 0 \Rightarrow -\frac{m^2}{3} + 2m - 3 > 0 \Rightarrow -m^2 + 6m - 9 > 0 \Rightarrow m^2 - 6m + 9 < 0. $$ Như trên, $m^2 - 6m + 9 = (m - 3)^2 < 0$ không có nghiệm. Vậy không tồn tại $m$ để đạo hàm luôn dương. Nhưng đề bài hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-30;30)$ sao cho mọi tiếp tuyến đều có hệ số góc dương. Ta thấy $y'(x)$ có thể bằng 0 tại $x_0$ nếu $m=3$ (vì $(m-3)^2=0$) ⇒ $y'_{min} = 0$, nhưng yêu cầu dương nên $m \neq 3$. Vậy hàm số không có giá trị nào thỏa mãn. **Đáp án Câu 6:** $\boxed{0}$. --- Tóm tắt đáp án: 1) $\frac{3}{49}$ 2) $\frac{36}{121}$ 3) $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{17}} \right)$ 4) $\frac{\sqrt{3}}{6} a^3$ 5) $0,00013$ giây 6) 0 giá trị nguyên $m$.