Cho tam giác ABC vuông ở A( AB < AC) đường cao AH. Tia phân giác của góc  HAC cắt BC ở E. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AH = AD. Các đường thẳng AH và DE cắt nhau tại I. Chứng minh: a) AB = BE b)...

a) Chứng minh $AB = BE$:

Xét tam giác $AHE$ và tam giác $ADE$:

- $AD = AH$ (gt)

- $\widehat{DAE}$ = $\widehat{HAE}$ (AE là tia phân giác góc HAC)

- AE chung

=> $\triangle AHE = \triangle ADE$ (c-g-c)

=> $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$ $= 90^o$

=> $ED$ $\perp$ $AC$

Xét $\triangle ABC$: $\widehat{BAC}$ = 90 độ, AH $\perp$ BC

=> $\widehat{BAH}$ + $\widehat{HAC}$ = 90 độ

Mà $\widehat{HAC}$ + $\widehat{C}$ = 90 độ

=> $\widehat{BAH}$ = $\widehat{C}$

Gọi $\widehat{HAE}$ = $\widehat{EAC}$ = $\alpha$

Ta có: $\widehat{BAH}$ = 90 độ - 2$\alpha$

=> $\widehat{C}$ = 90 độ - 2$\alpha$

$\widehat{AEB}$ = $\widehat{EAC}$ + $\widehat{C}$ (góc ngoài của tam giác AEC)

=> $\widehat{AEB}$ = $\alpha$ + 90 độ - 2$\alpha$ = 90 độ - $\alpha$

$\triangle ABE$: $\widehat{ABE}$ = 180 độ - $\widehat{BAE}$ - $\widehat{AEB}$ = 180 độ - 90 độ - (90 độ - $\alpha$) = $\alpha$

Vậy $\widehat{ABE}$ = $\widehat{AEB}$ => $\triangle ABE$ cân tại A => AB = BE

c) Chứng minh AE vuông góc với IC tại K:

$\triangle AHE = \triangle ADE$ => HE = DE

Xét $\triangle HIE$ và $\triangle DIE$:

- HE = DE

- IE chung

- $\widehat{IEH}$ = $\widehat{IED}$ = 90 độ

=> $\triangle HIE = \triangle DIE$ (c-g-c)

=> $\widehat{IHE}$ = $\widehat{IDE}$

Ta có: $\widehat{IHE}$ + $\widehat{AHC}$ = 180 độ (2 góc kề bù)

$\widehat{IDE}$ + $\widehat{CDI}$ = 180 độ

=> $\widehat{AHC}$ = $\widehat{CDI}$

Mà $\widehat{AHC}$ = 90 độ => $\widehat{CDI}$ = 90 độ

Ta có $\widehat{K}$ = $\widehat{DAI}$ + $\widehat{ADI}$ = $\widehat{DAI}$ + 90 độ > 90 độ => AE không vuông góc với IC tại K.

Đề sai.

d) Chứng minh $KH // AC$:

Ta có: $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AEH}$ = 90 độ (tính chất đối đỉnh)

Xét $\triangle AKC$:

$\widehat{AKC}$ = 180 độ - $\widehat{KAC}$ - $\widehat{ACK}$ = 180 độ - $\widehat{KAC}$ - $\widehat{C}$

Mà $\widehat{KAC}$ = 90 độ - $\widehat{C}$ ( $\triangle ABC$ vuông ở A)

=> $\widehat{AKC}$ = 180 độ - $\widehat{KAC}$ - $\widehat{C}$ = 180 độ - (90 độ - $\widehat{C}$) - $\widehat{C}$ = 90 độ

=> $\widehat{AKC}$ = $\widehat{AIC}$ = 90 độ

=> $KH // AC$ (2 đường thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng)