Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường thẳng AB tại D. Gọi Q là giao điểm của DH và OB. Tính diện tích AQOA theo theo R?

Question

Accepted Answer

Bài giải:

a) Chứng minh tứ giác $OBAC$ nội tiếp:

Ta có $\widehat{OBA} = \widehat{OCA} = 90^\circ$ (do AB, AC là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra $\widehat{OBA} + \widehat{OCA} = 180^\circ$.

Vậy tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

b) Chứng minh $AB^2 = AH.AO$:

Tam giác $ABO$ vuông tại B có đường cao BH nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $AB^2 = AH.AO$.

c) Tính diện tích $AQOA$ theo R:

* Chứng minh $OD \parallel BC$:

Ta có $OD \perp OA$ (gt) và $BC \perp OA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $OD \parallel BC$.

* Chứng minh Q là trung điểm của OB:

Vì $OD \parallel BC$, áp dụng định lý Thales trong tam giác DHA, ta có:

$\frac{AQ}{QD} = \frac{AH}{HC}$.

Lại có Q là giao điểm của DH và OB nên Q là trung điểm của OB. Do đó, $OQ = \frac{1}{2} OB = \frac{R}{2}$.

* Tính diện tích tam giác $AQA$:

Tam giác $AQA$ là tam giác vuông tại Q (do $OQ \perp QA$).

Ta có $QA = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{(2R)^2 - (\frac{R}{2})^2} = \sqrt{4R^2 - \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{15R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{15}}{2}$.

Diện tích tam giác AQA là:

$S_{AQA} = \frac{1}{2} QA \cdot QO = \frac{1}{2} \cdot \frac{R\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{R}{2} = \frac{R^2\sqrt{15}}{8}$.

Vậy diện tích tam giác AQA là $\frac{R^2\sqrt{15}}{8}$.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt đ...