Lam bai tap

Câu 1. Để xác định tiêu điểm và đường chuẩn của mỗi parabol, ta sẽ dựa vào công thức tiêu chuẩn của parabol \( y^2 = 4ax \). Parabol \( y^2 = 3x \) 1. Xác định tiêu điểm: - Công thức tiêu chuẩn của parabol \( y^2 = 4ax \) có tiêu điểm là \( F(a, 0) \). - So sánh \( y^2 = 3x \) với \( y^2 = 4ax \), ta thấy \( 4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4} \). - Vậy tiêu điểm của parabol \( y^2 = 3x \) là \( F\left(\frac{3}{4}, 0\right) \). 2. Xác định đường chuẩn: - Đường chuẩn của parabol \( y^2 = 4ax \) là \( x = -a \). - Với \( a = \frac{3}{4} \), đường chuẩn là \( x = -\frac{3}{4} \). Parabol \( y^2 = 2x \) 1. Xác định tiêu điểm: - So sánh \( y^2 = 2x \) với \( y^2 = 4ax \), ta thấy \( 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \). - Vậy tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \) là \( F\left(\frac{1}{2}, 0\right) \). 2. Xác định đường chuẩn: - Đường chuẩn của parabol \( y^2 = 4ax \) là \( x = -a \). - Với \( a = \frac{1}{2} \), đường chuẩn là \( x = -\frac{1}{2} \). Kết luận: - Parabol \( y^2 = 3x \) có tiêu điểm là \( F\left(\frac{3}{4}, 0\right) \) và đường chuẩn là \( x = -\frac{3}{4} \). - Parabol \( y^2 = 2x \) có tiêu điểm là \( F\left(\frac{1}{2}, 0\right) \) và đường chuẩn là \( x = -\frac{1}{2} \). Đáp số: - \( y^2 = 3x \): Tiêu điểm \( F\left(\frac{3}{4}, 0\right) \), Đường chuẩn \( x = -\frac{3}{4} \). - \( y^2 = 2x \): Tiêu điểm \( F\left(\frac{1}{2}, 0\right) \), Đường chuẩn \( x = -\frac{1}{2} \). Câu 2. a) Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là: \[ \binom{40}{2} = \frac{40 \times 39}{2} = 780 \text{ (cách)} \] b) Xác suất của biến cố "Không bạn nào trong nhóm siêu quậy được gọi": - Số cách chọn 2 bạn từ 36 bạn không thuộc nhóm siêu quậy: \[ \binom{36}{2} = \frac{36 \times 35}{2} = 630 \text{ (cách)} \] - Xác suất của biến cố này: \[ P(\text{Không bạn nào trong nhóm siêu quậy được gọi}) = \frac{630}{780} = \frac{21}{26} \] c) Xác suất của biến cố "Một bạn trong nhóm siêu quậy được gọi": - Số cách chọn 1 bạn từ nhóm siêu quậy và 1 bạn từ 36 bạn còn lại: \[ 4 \times 36 = 144 \text{ (cách)} \] - Xác suất của biến cố này: \[ P(\text{Một bạn trong nhóm siêu quậy được gọi}) = \frac{144}{780} = \frac{12}{65} \] d) Xác suất của biến cố "Cả hai bạn được gọi đều trong nhóm siêu quậy": - Số cách chọn 2 bạn từ nhóm siêu quậy: \[ \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ (cách)} \] - Xác suất của biến cố này: \[ P(\text{Cả hai bạn được gọi đều trong nhóm siêu quậy}) = \frac{6}{780} = \frac{1}{130} \] Đáp số: a) 780 (cách) b) $\frac{21}{26}$ c) $\frac{12}{65}$ d) $\frac{1}{130}$ Câu 1. Để tính diện tích tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC - Giao điểm của AB và AC: \[ \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có \( x = -y - 2 \). Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -y - 2 + 2y - 1 = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3 \] Thay \( y = 3 \) vào \( x = -y - 2 \): \[ x = -3 - 2 = -5 \] Vậy đỉnh A có tọa độ \((-5, 3)\). - Giao điểm của AB và BC: \[ \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 2x + 3y - 5 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2x + 4y - 2 = 0 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (2x + 3y - 5) - (2x + 4y - 2) = 0 \implies -y - 3 = 0 \implies y = -3 \] Thay \( y = -3 \) vào \( x + 2y - 1 = 0 \): \[ x + 2(-3) - 1 = 0 \implies x - 6 - 1 = 0 \implies x = 7 \] Vậy đỉnh B có tọa độ \((7, -3)\). - Giao điểm của AC và BC: \[ \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ 2x + 3y - 5 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2x + 2y + 4 = 0 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (2x + 3y - 5) - (2x + 2y + 4) = 0 \implies y - 9 = 0 \implies y = 9 \] Thay \( y = 9 \) vào \( x + y + 2 = 0 \): \[ x + 9 + 2 = 0 \implies x = -11 \] Vậy đỉnh C có tọa độ \((-11, 9)\). Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Thay tọa độ các đỉnh vào: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (-5)(-3 - 9) + 7(9 - 3) + (-11)(3 - (-3)) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| (-5)(-12) + 7(6) + (-11)(6) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 60 + 42 - 66 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 36 \right| \] \[ = 18 \] Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 18. Câu 2. Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển của đa thức $x(2x+1)^4 + (x+2)^5$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Khai triển $(2x+1)^4$ và $(x+2)^5$. Bước 2: Nhân $x$ với khai triển của $(2x+1)^4$. Bước 3: Tìm các số hạng chứa $x^3$ từ cả hai kết quả trên. Bước 4: Cộng các hệ số của các số hạng chứa $x^3$ lại với nhau. Bước 1: Khai triển $(2x+1)^4$ và $(x+2)^5$. Ta sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển: \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng cho $(2x+1)^4$: \[ (2x+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (1)^k \] \[ = \binom{4}{0}(2x)^4 + \binom{4}{1}(2x)^3 + \binom{4}{2}(2x)^2 + \binom{4}{3}(2x) + \binom{4}{4} \] \[ = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1 \] Áp dụng cho $(x+2)^5$: \[ (x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (2)^k \] \[ = \binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4(2) + \binom{5}{2}x^3(2^2) + \binom{5}{3}x^2(2^3) + \binom{5}{4}x(2^4) + \binom{5}{5}(2^5) \] \[ = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 \] Bước 2: Nhân $x$ với khai triển của $(2x+1)^4$. \[ x(2x+1)^4 = x(16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1) \] \[ = 16x^5 + 32x^4 + 24x^3 + 8x^2 + x \] Bước 3: Tìm các số hạng chứa $x^3$ từ cả hai kết quả trên. Từ $x(2x+1)^4$, ta có số hạng chứa $x^3$ là $24x^3$. Từ $(x+2)^5$, ta có số hạng chứa $x^3$ là $40x^3$. Bước 4: Cộng các hệ số của các số hạng chứa $x^3$ lại với nhau. Hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển của đa thức $x(2x+1)^4 + (x+2)^5$ là: \[ 24 + 40 = 64 \] Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ là $\boxed{64}$. Câu 1. Trước hết, ta cần tính khoảng thời gian mà mỗi ô tô đã di chuyển trước khi đến địa điểm D và C. 1. Tính thời gian di chuyển của ô tô từ vị trí A đến địa điểm D: - Khoảng cách từ vị trí A đến thành phố T' là 100 km. - Khoảng cách từ địa điểm D đến thành phố T' là 14 km. - Vậy khoảng cách từ vị trí A đến địa điểm D là: \[ 100 - 14 = 86 \text{ km} \] - Thời gian di chuyển của ô tô từ vị trí A đến địa điểm D là: \[ \frac{86 \text{ km}}{55 \text{ km/h}} = \frac{86}{55} \text{ giờ} = \frac{86}{55} \times 60 \text{ phút} \approx 93,82 \text{ phút} \approx 1 \text{ giờ } 34 \text{ phút} \] 2. Tính thời gian di chuyển của ô tô từ vị trí B đến địa điểm C: - Khoảng cách từ vị trí B đến thành phố T' là 100 km. - Khoảng cách từ địa điểm C đến thành phố T' là 6 km. - Vậy khoảng cách từ vị trí B đến địa điểm C là: \[ 100 - 6 = 94 \text{ km} \] - Thời gian di chuyển của ô tô từ vị trí B đến địa điểm C là: \[ \frac{94 \text{ km}}{45 \text{ km/h}} = \frac{94}{45} \text{ giờ} = \frac{94}{45} \times 60 \text{ phút} \approx 125,33 \text{ phút} \approx 2 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \] 3. So sánh thời gian di chuyển của cả hai ô tô: - Ô tô từ vị trí A đến địa điểm D mất khoảng 1 giờ 34 phút. - Ô tô từ vị trí B đến địa điểm C mất khoảng 2 giờ 5 phút. Do đó, thời điểm mà cả hai ô tô đều đến địa điểm D và C là lúc: \[ 8 \text{ giờ} + 2 \text{ giờ } 5 \text{ phút} = 10 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \] Đáp số: 10 giờ 5 phút. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của parabol. 2. Viết phương trình khoảng cách từ một điểm trên parabol đến tiêu điểm. 3. Giải phương trình để tìm tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện. Bước 1: Xác định tiêu điểm của parabol Parabol $(P): y^2 = 2x$ có tiêu điểm nằm trên trục Ox, cách đỉnh parabol một khoảng $\frac{1}{2a}$. Trong trường hợp này, $a = 1$, nên tiêu điểm là $F\left(\frac{1}{2}, 0\right)$. Bước 2: Viết phương trình khoảng cách từ một điểm trên parabol đến tiêu điểm Gọi điểm thuộc parabol là $M(x, y)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến tiêu điểm $F$ là: \[ MF = \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng 4: \[ \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = 4 \] Bước 3: Thay $y^2 = 2x$ vào phương trình trên và giải phương trình \[ \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2x} = 4 \] \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2x = 16 \] \[ x^2 - x + \frac{1}{4} + 2x = 16 \] \[ x^2 + x + \frac{1}{4} = 16 \] \[ x^2 + x - \frac{63}{4} = 0 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4x^2 + 4x - 63 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{8} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{8} \] \[ x = \frac{-4 \pm 32}{8} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} \] \[ x_2 = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} \] Bước 4: Tìm tọa độ các điểm - Với $x = \frac{7}{2}$: \[ y^2 = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 \] \[ y = \pm \sqrt{7} \] Các điểm là $\left( \frac{7}{2}, \sqrt{7} \right)$ và $\left( \frac{7}{2}, -\sqrt{7} \right)$. - Với $x = -\frac{9}{2}$: \[ y^2 = 2 \cdot -\frac{9}{2} = -9 \] (không thỏa mãn vì $y^2$ không thể âm) Vậy các điểm thuộc parabol $(P)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm của $(P)$ bằng 4 là: \[ \left( \frac{7}{2}, \sqrt{7} \right) \text{ và } \left( \frac{7}{2}, -\sqrt{7} \right) \] Câu 3. Để tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần khi gieo một viên xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất liên tiếp năm lần, ta có thể làm như sau: 1. Tìm xác suất của sự kiện đối lập: - Gọi \( A \) là sự kiện "mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần". - Sự kiện đối lập của \( A \) là \( \bar{A} \), tức là "mặt 6 chấm không xuất hiện trong cả năm lần gieo". 2. Xác suất của sự kiện \( \bar{A} \): - Xác suất để mặt 6 chấm không xuất hiện trong một lần gieo là \( \frac{5}{6} \) (vì có 5 mặt khác không phải là mặt 6 chấm). - Vì các lần gieo là độc lập, xác suất để mặt 6 chấm không xuất hiện trong cả năm lần gieo là: \[ P(\bar{A}) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \] 3. Tính xác suất của sự kiện \( \bar{A} \): \[ P(\bar{A}) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 = \frac{5^5}{6^5} = \frac{3125}{7776} \] 4. Xác suất của sự kiện \( A \): - Xác suất của sự kiện \( A \) là: \[ P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{7776 - 3125}{7776} = \frac{4651}{7776} \] Vậy xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần khi gieo một viên xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất liên tiếp năm lần là: \[ P(A) = \frac{4651}{7776} \]