Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm,AC = 4 cm trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC,Gọi E là trung điểm của BD, K là giao điểm của CE và AB a,vẽ hình theo bài và kí hiệu các cạnh bằ...

@thao

b) Chứng minh $BC = BD$ và tính độ dài AK:

- Chứng minh $BC = BD$ :

Tam giác $ABC$ vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$\Rightarrow BC = \sqrt{25} = 5$ (cm)

Vì E là trung điểm của BD nên $BE = ED = \frac{1}{2}BD$.

Xét tam giác ABD có: AB, AD, BD.

Ta có $AD = AC = 4$ $cm$ .

Theo đề bài chưa đủ dữ kiện để chứng minh $BC = BD$.

- Tính độ dài $AK$:

Gọi I là giao điểm của DE và AC

Xét $\triangle BCI$ và $\triangle DAE$ có :

$BC//DE$ (cùng vuông góc với $AB$)

$\widehat{BCI}=\widehat{ADE}$ (đồng vị)

$\widehat{IBC}=\widehat{DAE}$ (đồng vị)

$BC = AD$ (cùng bằng 4)

$\implies \triangle BCI = \triangle DAE (g.c.g)$

$\implies CI = AE$

Mặt khác : $AE = EC$

$AC = AE + EC$

$\implies AC = CI + AE$

Mà $AC = AD + DC \implies AD = AE $

Vì $AE = CI$ nên $AE=EC \implies E$ là trung điểm của $AC$

Mà $CE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BD$ của $\triangle BCD$

$\implies CE = \frac{1}{2} BD \implies CE = EB = ED$

$\implies \triangle BCE$ cân tại $E \implies \widehat{ECB} = \widehat{EBC}$

Ta có: $\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^o$

Mà $\widehat{ABC}= \widehat{EBC} + \widehat{ABE}$

$\widehat{ECB} = \widehat{EBC}$

$\implies \widehat{ABC} + \widehat{ABE} = 90^o$

Gọi $N$ là trung điểm của $CD$

$\implies NE // CB$

Mà $BK // AC \implies BK = AC$

$\implies \frac{AK}{AB}=\frac{AN}{AD}$

Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle ABD$ và đường thẳng CEK:

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BK} \cdot \frac{KA}{AB} = 1$

$\frac{AC+CE}{ED} \cdot \frac{DB}{BK} \cdot \frac{KA}{AB} = 1$

Ta có $\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BD}$ (Ta-lét đảo)