cho M=1/2^3 +2/3^3+3/4^3+...+2021/2022^3+2022/2023^3. chứng tỏ rằng giá trị của M không phải là số tự nhiên

Để chứng tỏ rằng giá trị của \( M \) không phải là số tự nhiên, ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức \( M \). Biểu thức \( M \) được viết dưới dạng: \[ M = \frac{1}{2^3} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{4^3} + \ldots + \frac{2021}{2022^3} + \frac{2022}{2023^3} \] Ta thấy rằng mỗi phân số trong biểu thức \( M \) đều có dạng \( \frac{n}{(n+1)^3} \), với \( n \) là số tự nhiên từ 1 đến 2022. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem liệu tổng của các phân số này có thể là số tự nhiên hay không. 1. Phân tích từng phân số: - \( \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) - \( \frac{2}{3^3} = \frac{2}{27} \) - \( \frac{3}{4^3} = \frac{3}{64} \) - ... - \( \frac{2021}{2022^3} \) - \( \frac{2022}{2023^3} \) Nhìn vào các phân số này, ta thấy rằng mỗi phân số đều có mẫu số là lũy thừa bậc 3 của một số tự nhiên lớn hơn 1. Điều này có nghĩa là mẫu số của mỗi phân số đều là số lớn hơn 1 và không chia hết cho 1. 2. Tổng của các phân số: - Tổng của các phân số này sẽ là một số thập phân hoặc một phân số không thể rút gọn thành số tự nhiên. Vì mỗi phân số đều có mẫu số là lũy thừa bậc 3 của một số tự nhiên lớn hơn 1, nên tổng của chúng sẽ không thể là số tự nhiên. 3. Kiểm tra tính chất của tổng: - Ta thấy rằng mỗi phân số \( \frac{n}{(n+1)^3} \) đều nhỏ hơn 1 và không thể là số tự nhiên. Do đó, tổng của các phân số này cũng không thể là số tự nhiên. Vì vậy, ta kết luận rằng giá trị của \( M \) không phải là số tự nhiên. Đáp số: Giá trị của \( M \) không phải là số tự nhiên.