Giúp mình với!

Câu 1. a) Đúng vì $3x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac13.$ b) Đúng vì $y=(x+m)^2+5-m^2.$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 khi $5-m^2=1.$ Phương trình này có hai nghiệm $m=2$ và $m=-2.$ c) Sai vì $f(x)=-x^2-3x+4=-(x+4)(x-1).$ Ta có $f(x)< 0$ với mọi $x\in(-\infty;-4)\cup(1;+\infty).$ d) Đúng vì $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+3x-2=1+x & \\ x^2+3x-2\ge0 & \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+2x-3=0 & \\ x^2+3x-2\ge0 & \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)(x+3)=0 & \\ x^2+3x-2\ge0 & \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x=1,x=-3 & \\ x^2+3x-2\ge0 & \end{cases}$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-3.$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=-3.$ Câu 2. a) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ nên $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AB}$ b) Đúng vì phương trình tổng quát của đường thẳng AB là $x+y+2=0$ c) Đúng vì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB là $\frac{|5-1+2|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ d) Sai vì đường tròn đường kính AB có tâm là $(\frac{3}{2};-\frac{7}{2})$ và bán kính là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên phương trình đường tròn là $(x-\frac{3}{2})^2+(y+\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$ Câu 1. Điều kiện: $5x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{5}$ Phương trình đã cho tương đương với: $(x-1)\sqrt{5x+1}=(x-1)(x+1)$ Trường hợp 1: $x = 1$ Trường hợp 2: $x \neq 1$, ta có thể chia cả hai vế cho $(x-1)$: $\sqrt{5x+1}=x+1$ Để giải phương trình này, ta bình phương cả hai vế: $5x + 1 = (x + 1)^2$ $5x + 1 = x^2 + 2x + 1$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$ Vậy $x = 0$ hoặc $x = 3$ Kiểm tra lại các nghiệm: - Với $x = 1$: Thỏa mãn điều kiện và phương trình ban đầu. - Với $x = 0$: Thỏa mãn điều kiện và phương trình ban đầu. - Với $x = 3$: Thỏa mãn điều kiện và phương trình ban đầu. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: $1 + 0 + 3 = 4$ Đáp số: 4 Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc nhân trong xác suất, tức là nếu có \( n \) cách để thực hiện một công việc và \( m \) cách để thực hiện một công việc khác thì có \( n \times m \) cách để thực hiện cả hai công việc. Bước 1: Xác định số cách chọn 3 kí tự đầu tiên là chữ cái in hoa. - Mỗi kí tự có thể là một trong 26 chữ cái từ A đến Z. - Do đó, mỗi kí tự có 26 lựa chọn. - Vì có 3 kí tự, nên tổng số cách chọn 3 kí tự đầu tiên là: \[ 26 \times 26 \times 26 = 26^3 \] Bước 2: Xác định số cách chọn 2 kí tự cuối cùng là chữ số. - Mỗi kí tự có thể là một trong 10 chữ số từ 0 đến 9. - Do đó, mỗi kí tự có 10 lựa chọn. - Vì có 2 kí tự, nên tổng số cách chọn 2 kí tự cuối cùng là: \[ 10 \times 10 = 10^2 \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân để tìm tổng số mật khẩu khác nhau. - Tổng số mật khẩu là tích của số cách chọn 3 kí tự đầu tiên và số cách chọn 2 kí tự cuối cùng: \[ 26^3 \times 10^2 \] Bước 4: Tính toán kết quả. \[ 26^3 = 26 \times 26 \times 26 = 17576 \] \[ 10^2 = 10 \times 10 = 100 \] \[ 17576 \times 100 = 1757600 \] Vậy, có thể tạo được 1,757,600 mật khẩu khác nhau. Đáp số: 1,757,600 mật khẩu Câu 3. Để tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x-1)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Theo công thức nhị thức Newton, khai triển của $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, ta có $a = 3x$, $b = -1$, và $n = 5$. Ta cần tìm hệ số của $x^4$, tức là tìm hệ số của $(3x)^4(-1)^1$. Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (3x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^{5-k} (-1)^k \] Ta quan tâm đến hạng tử có $(3x)^4$, tức là $k = 1$: \[ \binom{5}{1} (3x)^{5-1} (-1)^1 = \binom{5}{1} (3x)^4 (-1) \] Tính toán cụ thể: \[ \binom{5}{1} = 5 \] \[ (3x)^4 = 3^4 x^4 = 81x^4 \] \[ (-1) = -1 \] Nhân các thành phần lại với nhau: \[ 5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4 \] Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x-1)^5$ là $-405$. Đáp số: $-405$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp 1: Chọn 2 giáo viên Toán (trong đó có 1 nam và 1 nữ) và 1 giáo viên Vật lý nam. - Trường hợp 2: Chọn 1 giáo viên Toán nữ và 2 giáo viên Toán nam, sau đó chọn 1 giáo viên Vật lý nam. 2. Tính số cách chọn cho mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: + Chọn 1 giáo viên Toán nữ từ 3 giáo viên nữ: $\binom{3}{1} = 3$ cách. + Chọn 1 giáo viên Toán nam từ 5 giáo viên nam: $\binom{5}{1} = 5$ cách. + Chọn 1 giáo viên Vật lý nam từ 4 giáo viên nam: $\binom{4}{1} = 4$ cách. Số cách chọn trong trường hợp này là: $3 \times 5 \times 4 = 60$ cách. - Trường hợp 2: + Chọn 1 giáo viên Toán nữ từ 3 giáo viên nữ: $\binom{3}{1} = 3$ cách. + Chọn 2 giáo viên Toán nam từ 5 giáo viên nam: $\binom{5}{2} = 10$ cách. + Chọn 1 giáo viên Vật lý nam từ 4 giáo viên nam: $\binom{4}{1} = 4$ cách. Số cách chọn trong trường hợp này là: $3 \times 10 \times 4 = 120$ cách. 3. Cộng tổng số cách chọn từ cả hai trường hợp: Tổng số cách chọn là: $60 + 120 = 180$ cách. Vậy, có 180 cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn.