giải chí tiết

Câu 1. Để tìm số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2 - x + 5} = 3x - 10$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có dạng $\sqrt{x^2 - x + 5} = 3x - 10$. Để căn thức có nghĩa, ta cần: \[ x^2 - x + 5 \geq 0 \] Ta thấy rằng $x^2 - x + 5$ luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có hệ số a > 0 và $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19 < 0$. Do đó, $x^2 - x + 5$ luôn dương và không có nghiệm thực. Thêm nữa, vế phải của phương trình cũng phải không âm: \[ 3x - 10 \geq 0 \] \[ 3x \geq 10 \] \[ x \geq \frac{10}{3} \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{x^2 - x + 5})^2 = (3x - 10)^2 \] \[ x^2 - x + 5 = 9x^2 - 60x + 100 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và giản ước \[ x^2 - x + 5 - 9x^2 + 60x - 100 = 0 \] \[ -8x^2 + 59x - 95 = 0 \] \[ 8x^2 - 59x + 95 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 8$, $b = -59$, $c = 95$: \[ x = \frac{59 \pm \sqrt{(-59)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 95}}{2 \cdot 8} \] \[ x = \frac{59 \pm \sqrt{3481 - 3040}}{16} \] \[ x = \frac{59 \pm \sqrt{441}}{16} \] \[ x = \frac{59 \pm 21}{16} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{59 + 21}{16} = \frac{80}{16} = 5 \] \[ x_2 = \frac{59 - 21}{16} = \frac{38}{16} = \frac{19}{8} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với $x = 5$: \[ 3x - 10 = 3(5) - 10 = 15 - 10 = 5 \] \[ \sqrt{5^2 - 5 + 5} = \sqrt{25 - 5 + 5} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy $x = 5$ thỏa mãn điều kiện và là nghiệm của phương trình. - Với $x = \frac{19}{8}$: \[ 3x - 10 = 3\left(\frac{19}{8}\right) - 10 = \frac{57}{8} - 10 = \frac{57}{8} - \frac{80}{8} = -\frac{23}{8} \] Vì $-\frac{23}{8} < 0$, nên $x = \frac{19}{8}$ không thỏa mãn điều kiện $3x - 10 \geq 0$. Kết luận: Phương trình $\sqrt{x^2 - x + 5} = 3x - 10$ có duy nhất một nghiệm là $x = 5$. Đáp số: Phương trình có 1 nghiệm: $x = 5$. Câu 2. Để lập được số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn từ các số thuộc tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6,7\}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn chữ số hàng đơn vị: Vì số cần lập là số chẵn, nên chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số chẵn trong tập $A$. Các số chẵn trong tập $A$ là: 0, 2, 4, 6. Tuy nhiên, nếu chọn 0 làm chữ số hàng đơn vị thì chữ số hàng nghìn có 6 lựa chọn (vì không thể chọn 0). Nếu chọn 2, 4 hoặc 6 làm chữ số hàng đơn vị thì chữ số hàng nghìn có 5 lựa chọn (không thể chọn 0 và không thể chọn lại chữ số đã chọn ở hàng đơn vị). 2. Chọn chữ số hàng nghìn: Chữ số hàng nghìn không thể là 0 và không thể trùng với chữ số hàng đơn vị. Do đó: - Nếu chọn 0 làm chữ số hàng đơn vị, ta có 6 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trừ đi 0). - Nếu chọn 2, 4 hoặc 6 làm chữ số hàng đơn vị, ta có 5 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trừ đi 0 và chữ số hàng đơn vị). 3. Chọn chữ số hàng trăm: Chữ số hàng trăm không thể trùng với các chữ số đã chọn ở hàng nghìn và hàng đơn vị. Do đó, ta còn 5 lựa chọn cho chữ số hàng trăm. 4. Chọn chữ số hàng chục: Chữ số hàng chục không thể trùng với các chữ số đã chọn ở hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị. Do đó, ta còn 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục. Bây giờ, ta tính tổng số cách chọn: - Trường hợp chọn 0 làm chữ số hàng đơn vị: \[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \] - Trường hợp chọn 2, 4 hoặc 6 làm chữ số hàng đơn vị: \[ 3 \times 5 \times 5 \times 4 = 300 \] Tổng cộng, số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn là: \[ 120 + 300 = 420 \] Vậy, từ các số thuộc tập $A$, ta có thể lập được 420 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn.