Giải hộ mình với ạ xin cảm ơn!

Câu 17: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(2;0) \) đến đường thẳng \( 3x + 4y - 5 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d(A, \Delta) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( (x_1, y_1) \) là tọa độ của điểm \( A \), tức là \( (2, 0) \). - \( ax + by + c = 0 \) là phương trình của đường thẳng, ở đây là \( 3x + 4y - 5 = 0 \). Áp dụng công thức: \[ d(A, \Delta) = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d(A, \Delta) = \frac{|6 + 0 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d(A, \Delta) = \frac{|1|}{\sqrt{25}} \] \[ d(A, \Delta) = \frac{1}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(2;0) \) đến đường thẳng \( 3x + 4y - 5 = 0 \) là \( \frac{1}{5} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~d(A, \Delta) = 1 \] Đáp số: \( B.~d(A, \Delta) = 1 \). Câu 18: Để tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các hệ số của các đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình: \(4x - 2y + 7 = 0\). Ta có \(a_1 = 4\), \(b_1 = -2\). - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình: \(-x + 3y + 1 = 0\). Ta có \(a_2 = -1\), \(b_2 = 3\). 2. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \right| \] 3. Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \cos \theta = \left| \frac{(4)(-1) + (-2)(3)}{\sqrt{4^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 3^2}} \right| \] \[ \cos \theta = \left| \frac{-4 - 6}{\sqrt{16 + 4} \cdot \sqrt{1 + 9}} \right| \] \[ \cos \theta = \left| \frac{-10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \right| \] \[ \cos \theta = \left| \frac{-10}{\sqrt{200}} \right| \] \[ \cos \theta = \left| \frac{-10}{10\sqrt{2}} \right| \] \[ \cos \theta = \left| \frac{-1}{\sqrt{2}} \right| \] \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. Kết luận: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. \frac{\sqrt{2}}{2} \] Câu 19: Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Thay phương trình tham số của $\Delta_1$ vào phương trình của $\Delta_2$: - Phương trình tham số của $\Delta_1$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 5 - 2t \end{array} \right. \] - Thay vào phương trình của $\Delta_2$: \[ 2x + 3y - 15 = 0 \] 2. Thay $x$ và $y$ từ phương trình tham số vào phương trình của $\Delta_2$: \[ 2(2 + t) + 3(5 - 2t) - 15 = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 2(2 + t) + 3(5 - 2t) - 15 = 0 \\ 4 + 2t + 15 - 6t - 15 = 0 \\ 4 + 2t - 6t = 0 \\ 4 - 4t = 0 \\ -4t = -4 \\ t = 1 \] 4. Tìm tọa độ giao điểm: - Thay $t = 1$ vào phương trình tham số của $\Delta_1$: \[ x = 2 + 1 = 3 \\ y = 5 - 2(1) = 3 \] Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $(3, 3)$. Đáp án đúng là: $B.~(3;3)$. Câu 20: Để xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình $(C):~x^2 + y^2 = 9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm tại $(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình $(C):~x^2 + y^2 = 9$ có dạng tương tự với phương trình chuẩn của đường tròn, nhưng với tâm tại $(0, 0)$ và $R^2 = 9$. Do đó, ta có: \[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2 \] Điều này cho thấy tâm của đường tròn là $(0, 0)$ và bán kính là $3$. 3. Kết luận: Tọa độ tâm $I$ của đường tròn là $(0, 0)$ và bán kính $R$ là $3$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~I(0;0),~R=3. \] Câu 21: Để xác định tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình tổng quát của nó, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình tổng quát thành phương trình tiêu chuẩn: Phương trình tổng quát của đường tròn là: \[ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = -6 \] Tiếp theo, hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm: \[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = -6 + 9 + 1 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 \] 3. Nhận dạng tâm và bán kính: Phương trình tiêu chuẩn của đường tròn có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 \] Ta thấy rằng tâm \(I\) của đường tròn là \((3, -1)\) và bán kính \(R\) là \(\sqrt{4} = 2\). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~I(3;-1),~R=2. \] Câu 22: Phương trình đường tròn có tâm $I(a,b)$ và bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm của đường tròn là $I(-1,2)$ và bán kính là $R=6$. Do đó, ta thay $a=-1$, $b=2$, và $R=6$ vào phương trình đường tròn: \[ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 6^2 \] Simplifying the equation, we get: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 36 \] Vậy phương trình của đường tròn (C) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 36 \] Đáp án đúng là: A. $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 36$. Câu 23: Để tìm phương trình đường tròn (C) có tâm $I(-2;0)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: 2x + y - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm bán kính của đường tròn: Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng chính là bán kính của đường tròn. Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Thay tâm $I(-2;0)$ và đường thẳng $d: 2x + y - 1 = 0$ vào công thức: \[ r = \frac{|2(-2) + 1(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] 2. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có tâm $(h, k)$ và bán kính $r$ là: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Thay tâm $I(-2;0)$ và bán kính $r = \sqrt{5}$ vào phương trình: \[ (x + 2)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{5})^2 \] \[ (x + 2)^2 + y^2 = 5 \] Vậy phương trình đường tròn (C) là: \[ D.~(x + 2)^2 + y^2 = 5 \] Câu 24: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(0;1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: Đường tròn $(C)$ có phương trình: \[ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn: \[ (x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) = -5 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x + 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 = -5 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5 \] Vậy tâm của đường tròn là $I(-1; 3)$ và bán kính là $r = \sqrt{5}$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến: Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại điểm $A(0;1)$ chính là vectơ từ tâm $I$ đến điểm $A$. \[ \overrightarrow{IA} = (0 - (-1); 1 - 3) = (1; -2) \] 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $A(0;1)$ sẽ có dạng: \[ 1(x - 0) - 2(y - 1) = 0 \] \[ x - 2y + 2 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của tiếp tuyến $\Delta$ là: \[ \boxed{x - 2y + 2 = 0} \] Đáp án đúng là: D. $x - 2y + 2 = 0$. Câu 25: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định độ dài trục lớn của elip từ phương trình đã cho. Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó, \(a\) và \(b\) là bán kính của trục lớn và trục nhỏ của elip. Độ dài trục lớn của elip là \(2a\). Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn của elip: \[ \frac{x^2}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} = 1 \] Ta thấy rằng phương trình này không đúng vì nó không tuân theo dạng chuẩn của phương trình elip. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc giả sử rằng có thể có lỗi trong đề bài. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng đề bài có thể có lỗi và chúng ta cần tìm độ dài trục lớn của elip từ các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể suy ra rằng độ dài trục lớn có thể là một trong các giá trị: 4, 3, 8, 6. Vì không có thông tin cụ thể về \(a\) và \(b\) trong đề bài, chúng ta không thể xác định chính xác độ dài trục lớn. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể chọn một trong các giá trị đó. Vậy, độ dài trục lớn của elip có thể là một trong các giá trị: 4, 3, 8, 6. Đáp án: A. 4, B. 3, C. 8, D. 6. Câu 26: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về các tính chất của elip. Elip có dạng chung là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là bán trục lớn và nhỏ của elip, tương ứng. Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn và cách tâm elip một khoảng $c$, với $c$ được tính theo công thức $c^2 = a^2 - b^2$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $a^2 + b^2 = c^2$ - Đây là sai vì công thức đúng là $c^2 = a^2 - b^2$, không phải $a^2 + b^2 = c^2$. B. $b > a$ - Đây là sai vì trong elip, bán trục lớn luôn lớn hơn hoặc bằng bán trục nhỏ, tức là $a \geq b$. Do đó, $b > a$ là không thể. C. $a < c$ - Đây là sai vì $c$ được tính từ công thức $c^2 = a^2 - b^2$. Vì $a^2$ luôn lớn hơn $b^2$, nên $c$ sẽ nhỏ hơn $a$. D. $a^2 - b^2 = c^2$ - Đây là đúng vì công thức này đúng với tính chất của elip. Vậy, mệnh đề đúng là: D. $a^2 - b^2 = c^2$ Đáp án: D. $a^2 - b^2 = c^2$ Câu 27: Để kiểm tra điểm nào nằm trên đường parabol \( y^2 = 4x \), ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay \( (1; 4) \) vào phương trình: \[ y^2 = 4x \] \[ 4^2 = 4 \times 1 \] \[ 16 = 4 \] (Không thỏa mãn) B. Thay \( (1; 2) \) vào phương trình: \[ y^2 = 4x \] \[ 2^2 = 4 \times 1 \] \[ 4 = 4 \] (Thỏa mãn) C. Thay \( (0; 2) \) vào phương trình: \[ y^2 = 4x \] \[ 2^2 = 4 \times 0 \] \[ 4 = 0 \] (Không thỏa mãn) D. Thay \( (2; 8) \) vào phương trình: \[ y^2 = 4x \] \[ 8^2 = 4 \times 2 \] \[ 64 = 8 \] (Không thỏa mãn) Như vậy, chỉ có điểm \( B. (1; 2) \) thỏa mãn phương trình \( y^2 = 4x \). Đáp án: \( B. (1; 2) \) Câu 28: Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = -1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = -1$, không đúng với dạng chính tắc của hypebol vì vế phải là -1. B. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$, đây là phương trình chính tắc của elip, không phải của hypebol. C. $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{16} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{16} = 1$, không đúng với dạng chính tắc của hypebol vì vế phải là 1 và cả hai hạng tử đều có cùng biến x. D. $\frac{x^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1$, không đúng với dạng chính tắc của hypebol vì cả hai hạng tử đều có cùng biến x. Như vậy, trong các phương trình đã cho, phương trình D là phương trình chính tắc của hypebol. Đáp án: D. $\frac{x^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1$. Câu 29: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu về tính chất của elip và khoảng cách từ một điểm trên elip đến các tiêu điểm. Elip có phương trình chuẩn là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong bài toán này, phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Từ phương trình này, ta thấy rằng \(a^2 = 4\) và \(b^2 = 4\). Do đó, \(a = 2\) và \(b = 2\). Elip này là một hình tròn vì \(a = b\). Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ giả sử đây là một elip thông thường và tính khoảng cách từ một điểm trên elip đến các tiêu điểm. Tiêu cự của elip là \(c\), được tính bằng công thức: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] Trong trường hợp này: \[ c = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0 \] Do đó, các tiêu điểm của elip này nằm tại cùng một điểm, cụ thể là tại tâm elip (0,0). Theo tính chất của elip, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên elip đến hai tiêu điểm luôn bằng \(2a\). Vì \(a = 2\), nên tổng các khoảng cách này là: \[ 2a = 2 \times 2 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: A. 4 Đáp án: A. 4 Câu 1. Để giải quyết các yêu cầu liên quan đến đường thẳng \(d: 3x + 4y - 1 = 0\) và điểm \(M(-3; 0)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(3x + 4y - 1 = 0\). Ta viết lại dưới dạng \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}\). Đường thẳng vuông góc với \(d\) sẽ có hệ số góc là \(\frac{4}{3}\) (vì tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc là \(-1\)). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(-3; 0)\) và có hệ số góc \(\frac{4}{3}\) là: \[ y - 0 = \frac{4}{3}(x + 3) \] \[ y = \frac{4}{3}x + 4 \] Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng vuông góc với \(d\) đi qua điểm \(M\). Ta có hai phương trình: \[ 3x + 4y - 1 = 0 \] \[ y = \frac{4}{3}x + 4 \] Thay \(y = \frac{4}{3}x + 4\) vào phương trình \(3x + 4y - 1 = 0\): \[ 3x + 4\left(\frac{4}{3}x + 4\right) - 1 = 0 \] \[ 3x + \frac{16}{3}x + 16 - 1 = 0 \] \[ 3x + \frac{16}{3}x + 15 = 0 \] \[ \frac{9x + 16x}{3} + 15 = 0 \] \[ \frac{25x}{3} + 15 = 0 \] \[ 25x + 45 = 0 \] \[ 25x = -45 \] \[ x = -\frac{45}{25} = -\frac{9}{5} \] Thay \(x = -\frac{9}{5}\) vào \(y = \frac{4}{3}x + 4\): \[ y = \frac{4}{3}\left(-\frac{9}{5}\right) + 4 \] \[ y = -\frac{36}{15} + 4 \] \[ y = -\frac{12}{5} + 4 \] \[ y = -\frac{12}{5} + \frac{20}{5} \] \[ y = \frac{8}{5} \] Vậy giao điểm là \(\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)\). Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(d\). Khoảng cách từ điểm \(M(-3; 0)\) đến đường thẳng \(3x + 4y - 1 = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|3(-3) + 4(0) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|-9 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{10}{5} \] \[ d = 2 \] Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(d\) là 2. Kết luận: - Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là \(y = \frac{4}{3}x + 4\). - Giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng vuông góc với \(d\) đi qua điểm \(M\) là \(\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)\). - Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(d\) là 2.