giải ngắn gọn

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng phương. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_1 = (1, -2, 3)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_2 = (2, -4, 6)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_2 = 2\vec{n}_1$, do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương. b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) đều đi qua điểm $M(1, 1, 2)$. Thay tọa độ điểm $M(1, 1, 2)$ vào phương trình của mặt phẳng (P): \[ 1 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 = 1 - 2 + 6 + 1 = 6 \neq 0 \] Do đó, điểm $M$ không thuộc mặt phẳng (P). Thay tọa độ điểm $M(1, 1, 2)$ vào phương trình của mặt phẳng (Q): \[ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 1 = 2 - 4 + 12 + 1 = 11 \neq 0 \] Do đó, điểm $M$ không thuộc mặt phẳng (Q). c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng $\frac{\sqrt{14}}{14}$. Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song vì vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\|\vec{n}\|} \] Trong đó, $d_1$ và $d_2$ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến mỗi mặt phẳng, và $\|\vec{n}\|$ là độ dài của vectơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng $x - 2y + 3z + 1 = 0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) là: \[ d_1 = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \] Phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng $2x - 4y + 6z + 1 = 0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (Q) là: \[ d_2 = \frac{|1|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 6^2}} = \frac{1}{\sqrt{56}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} \] Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là: \[ d = \left| \frac{1}{\sqrt{14}} - \frac{1}{2\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{2}{2\sqrt{14}} - \frac{1}{2\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{1}{2\sqrt{14}} \right| = \frac{1}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{28} \] d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $60^\circ$. Vì hai mặt phẳng song song, góc giữa chúng là $0^\circ$ hoặc $180^\circ$, không thể là $60^\circ$. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai. Câu 2. Để giải quyết bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. a) Xác suất để vận động viên này thuộc đội r là 0.8 Tổng số vận động viên là: \[ 6 + 8 = 14 \] Xác suất để vận động viên này thuộc đội r là: \[ P(\text{đội r}) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 0.4286 \] Như vậy, xác suất để vận động viên này thuộc đội r là 0.4286, không phải 0.8. b) Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$ Xác suất để vận động viên thuộc đội r đạt huy chương đồng là: \[ P(\text{huy chương đồng} | \text{đội r}) = 0.8 \] Xác suất để vận động viên thuộc đội u đạt huy chương đồng là: \[ P(\text{huy chương đồng} | \text{đội u}) = 0.65 \] Xác suất để vận động viên thuộc đội r là: \[ P(\text{đội r}) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \] Xác suất để vận động viên thuộc đội u là: \[ P(\text{đội u}) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \] Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(\text{huy chương đồng}) = P(\text{huy chương đồng} | \text{đội r}) \cdot P(\text{đội r}) + P(\text{huy chương đồng} | \text{đội u}) \cdot P(\text{đội u}) \] \[ P(\text{huy chương đồng}) = 0.8 \cdot \frac{3}{7} + 0.65 \cdot \frac{4}{7} \] \[ P(\text{huy chương đồng}) = \frac{2.4}{7} + \frac{2.6}{7} = \frac{5}{7} \] Như vậy, xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$. c) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương đồng. Xác suất để vận động viên đó thuộc đội u là 0.48 Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: \[ P(\text{đội u} | \text{huy chương đồng}) = \frac{P(\text{huy chương đồng} | \text{đội u}) \cdot P(\text{đội u})}{P(\text{huy chương đồng})} \] \[ P(\text{đội u} | \text{huy chương đồng}) = \frac{0.65 \cdot \frac{4}{7}}{\frac{5}{7}} \] \[ P(\text{đội u} | \text{huy chương đồng}) = \frac{2.6}{5} = 0.52 \] Như vậy, xác suất để vận động viên đó thuộc đội u là 0.52, không phải 0.48. d) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương đồng. Xác suất để vận động viên đó thuộc đội r là $\frac{12}{25}$ Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: \[ P(\text{đội r} | \text{huy chương đồng}) = \frac{P(\text{huy chương đồng} | \text{đội r}) \cdot P(\text{đội r})}{P(\text{huy chương đồng})} \] \[ P(\text{đội r} | \text{huy chương đồng}) = \frac{0.8 \cdot \frac{3}{7}}{\frac{5}{7}} \] \[ P(\text{đội r} | \text{huy chương đồng}) = \frac{2.4}{5} = 0.48 \] Như vậy, xác suất để vận động viên đó thuộc đội r là 0.48, không phải $\frac{12}{25}$. Kết luận: - Xác suất để vận động viên này thuộc đội r là 0.4286. - Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$. - Xác suất để vận động viên đó thuộc đội u là 0.52. - Xác suất để vận động viên đó thuộc đội r là 0.48. Câu 1. Để tính tích phân $\int^b_1\frac{x^2+2x}{x^3}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân: \[ \frac{x^2 + 2x}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} + \frac{2x}{x^3} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int^b_1 \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right) dx = \int^b_1 \frac{1}{x} dx + \int^b_1 \frac{2}{x^2} dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^b_1 \frac{1}{x} dx = \ln|x| \Bigg|^b_1 = \ln b - \ln 1 = \ln b \] \[ \int^b_1 \frac{2}{x^2} dx = 2 \int^b_1 x^{-2} dx = 2 \left( -\frac{1}{x} \right) \Bigg|^b_1 = 2 \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{b} \right) \] Bước 4: Cộng lại các kết quả: \[ \int^b_1 \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right) dx = \ln b + 2 \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = \ln b + 2 - \frac{2}{b} \] Theo đề bài, tích phân này bằng $a + \frac{b}{e}$, tức là: \[ \ln b + 2 - \frac{2}{b} = a + \frac{b}{e} \] Bước 5: So sánh hai vế để tìm $a$ và $b$: - Nhận thấy rằng $\ln b$ và $\frac{b}{e}$ đều liên quan đến $b$. Để đơn giản hóa, ta giả sử $b = e$: \[ \ln e + 2 - \frac{2}{e} = a + \frac{e}{e} \] \[ 1 + 2 - \frac{2}{e} = a + 1 \] \[ 3 - \frac{2}{e} = a + 1 \] \[ a = 2 - \frac{2}{e} \] Vậy $a = 2 - \frac{2}{e}$ và $b = e$. Cuối cùng, tính $a + b$: \[ a + b = \left( 2 - \frac{2}{e} \right) + e = 2 + e - \frac{2}{e} \] Đáp số: $a + b = 2 + e - \frac{2}{e}$. Câu 2. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(3;0;0) \), \( B(0;-2;0) \), và \( C(0;0;1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = B - A = (-3, -2, 0) \) - Vectơ \( \overrightarrow{AC} = C - A = (-3, 0, 1) \) Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng là tích vector của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2) \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}((-3) \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) + \vec{k}((-3) \cdot 0 - (-2) \cdot (-3)) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(0 - 6) = -2\vec{i} + 3\vec{j} - 6\vec{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-2, 3, -6) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \). Với vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-2, 3, -6) \), ta có: \[ -2x + 3y - 6z + d = 0 \] 3. Xác định tham số \( d \): Mặt phẳng đi qua điểm \( A(3;0;0) \), thay tọa độ của \( A \) vào phương trình: \[ -2(3) + 3(0) - 6(0) + d = 0 \] \[ -6 + d = 0 \] \[ d = 6 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ -2x + 3y - 6z + 6 = 0 \] 4. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình đã cho là \( 2x + by + cz + d = 0 \). So sánh với phương trình tìm được \( -2x + 3y - 6z + 6 = 0 \), ta thấy: \[ b = 3, \quad c = -6, \quad d = 6 \] 5. Tính \( b + c + d \): \[ b + c + d = 3 + (-6) + 6 = 3 \] Vậy \( b + c + d = 3 \). Câu 3. Để tính xác suất để thủ môn cản được cú sút của cầu thủ X, biết rằng cầu thủ X sút không dẫn đến bàn thắng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các sự kiện: - Gọi \( A \) là sự kiện "cầu thủ X sút penalty không dẫn đến bàn thắng". - Gọi \( B \) là sự kiện "thủ môn cản phá cú sút của cầu thủ X". 2. Xác định xác suất của các sự kiện: - Xác suất của sự kiện \( A \) là \( P(A) = 0.25 \). - Xác suất của sự kiện \( B \) là \( P(B) = 0.20 \). 3. Tìm xác suất của sự kiện \( B \) xảy ra trong điều kiện \( A \) đã xảy ra: - Ta cần tìm \( P(B|A) \), xác suất để thủ môn cản được cú sút của cầu thủ X, biết rằng cú sút không dẫn đến bàn thắng. 4. Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Trong đó, \( P(A \cap B) \) là xác suất cả hai sự kiện \( A \) và \( B \) cùng xảy ra. 5. Giả sử rằng nếu cú sút không dẫn đến bàn thắng thì thủ môn cản phá cú sút đó với xác suất \( P(B|A) \). - Do đó, \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \). 6. Tính \( P(B|A) \): - Vì \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \), ta có: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A)} = P(B) \] - Vậy \( P(B|A) = 0.20 \). Do đó, xác suất để thủ môn cản được cú sút của cầu thủ X, biết rằng cú sút không dẫn đến bàn thắng là \( 0.20 \). Đáp số: \( 0.20 \) Câu 1. Để tính dung tích của bình, ta cần tính thể tích của phần hình trụ và phần hình nón. Trước tiên, ta tính thể tích của phần hình trụ: - Chiều cao của phần hình trụ là $\frac{3\pi}{2} - 2$ (dm) - Bán kính của phần hình trụ là $\sqrt{2 - \sin(2)}$ (dm) Thể tích của phần hình trụ là: \[ V_{trụ} = \pi r^2 h = \pi (\sqrt{2 - \sin(2)})^2 \left(\frac{3\pi}{2} - 2\right) \] Tiếp theo, ta tính thể tích của phần hình nón: - Chiều cao của phần hình nón là 2 (dm) - Bán kính của phần hình nón là $\sqrt{2 - \sin(2)}$ (dm) Thể tích của phần hình nón là: \[ V_{nón} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{2 - \sin(2)})^2 \cdot 2 \] Tổng thể tích của bình là: \[ V_{tổng} = V_{trụ} + V_{nón} \] Bây giờ, ta thực hiện các phép tính cụ thể: 1. Tính $(\sqrt{2 - \sin(2)})^2$: \[ (\sqrt{2 - \sin(2)})^2 = 2 - \sin(2) \] 2. Tính thể tích của phần hình trụ: \[ V_{trụ} = \pi (2 - \sin(2)) \left(\frac{3\pi}{2} - 2\right) \] 3. Tính thể tích của phần hình nón: \[ V_{nón} = \frac{1}{3} \pi (2 - \sin(2)) \cdot 2 = \frac{2}{3} \pi (2 - \sin(2)) \] 4. Tính tổng thể tích: \[ V_{tổng} = \pi (2 - \sin(2)) \left(\frac{3\pi}{2} - 2\right) + \frac{2}{3} \pi (2 - \sin(2)) \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đề xi mét khối (dm³): \[ V_{tổng} \approx 1.57 \text{ dm}^3 \] Vậy dung tích của bình là khoảng 1.57 dm³. Câu 2. a) Ta có tâm mặt cầu là $I(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):3y-4z-4=0$. Để viết phương trình mặt cầu, ta cần biết bán kính $R$ của mặt cầu. Bán kính này chính là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ điểm $I(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3y-4z-4=0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Trong đó, $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $I$, và $Ax + By + Cz + D = 0$ là phương trình mặt phẳng $(P)$. Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 12 - 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10|}{5} = 2 \] Vậy bán kính $R$ của mặt cầu là 2. Phương trình mặt cầu có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R = 2$ là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 4 \] b) Tiếp điểm của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu là điểm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm đó bằng bán kính $R$ của mặt cầu. Gọi tiếp điểm là $M(x_1, y_1, z_1)$. Vì $M$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên: \[ 3y_1 - 4z_1 - 4 = 0 \] Vì $M$ cũng nằm trên mặt cầu nên: \[ (x_1 - 1)^2 + (y_1 - 2)^2 + (z_1 - 3)^2 = 4 \] Phương trình đường thẳng đi qua tâm $I(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có dạng: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-4} = t \] Từ đây, ta có: \[ x_1 = 1 \] \[ y_1 = 2 + 3t \] \[ z_1 = 3 - 4t \] Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 3(2 + 3t) - 4(3 - 4t) - 4 = 0 \] \[ 6 + 9t - 12 + 16t - 4 = 0 \] \[ 25t - 10 = 0 \] \[ t = \frac{2}{5} \] Thay $t = \frac{2}{5}$ vào phương trình đường thẳng: \[ x_1 = 1 \] \[ y_1 = 2 + 3 \cdot \frac{2}{5} = 2 + \frac{6}{5} = \frac{16}{5} \] \[ z_1 = 3 - 4 \cdot \frac{2}{5} = 3 - \frac{8}{5} = \frac{7}{5} \] Vậy tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng và mặt cầu là: \[ M \left( 1, \frac{16}{5}, \frac{7}{5} \right) \]