KN đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đã nêu và giải quyết từng bài toán theo yêu cầu. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{x+1}{x-1}\) Bước 1: Xác định điều kiện xác định Điều kiện xác định: \(x \neq 1\). Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ta có: \[ A = \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} \] Biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\frac{2}{x-1}\) đạt giá trị lớn nhất. Ta thấy rằng \(\frac{2}{x-1}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x-1\) đạt giá trị nhỏ nhất dương, tức là khi \(x\) gần 1 từ bên phải. Do đó, giá trị lớn nhất của \(A\) là \(+\infty\), đạt được khi \(x\) tiến gần đến 1 từ bên phải. Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = x^2 + 2x + 3\) Bước 1: Xác định điều kiện xác định Không có điều kiện xác định đặc biệt. Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ta có: \[ B = x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2 \] Biểu thức \((x+1)^2\) luôn luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \(x = -1\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(B\) là 2, đạt được khi \(x = -1\). Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = \sqrt{x^2 + 4x + 5}\) Bước 1: Xác định điều kiện xác định Không có điều kiện xác định đặc biệt. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ta có: \[ C = \sqrt{x^2 + 4x + 5} = \sqrt{(x^2 + 4x + 4) + 1} = \sqrt{(x+2)^2 + 1} \] Biểu thức \((x+2)^2\) luôn luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \(x = -2\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(\sqrt{1} = 1\), đạt được khi \(x = -2\). Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(D = \frac{2x+1}{x^2+1}\) Bước 1: Xác định điều kiện xác định Không có điều kiện xác định đặc biệt. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ta có: \[ D = \frac{2x+1}{x^2+1} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (2x+1)^2 \leq (2^2 + 1^2)(x^2 + 1) = 5(x^2 + 1) \] \[ \frac{(2x+1)^2}{x^2+1} \leq 5 \] \[ \left( \frac{2x+1}{x^2+1} \right)^2 \leq 5 \] \[ \frac{2x+1}{x^2+1} \leq \sqrt{5} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(D\) là \(\sqrt{5}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{2}\). Kết luận - Giá trị lớn nhất của \(A\) là \(+\infty\), đạt được khi \(x\) tiến gần đến 1 từ bên phải. - Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là 2, đạt được khi \(x = -1\). - Giá trị nhỏ nhất của \(C\) là 1, đạt được khi \(x = -2\). - Giá trị lớn nhất của \(D\) là \(\sqrt{5}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{2}\).