N+5/n+6; 4n+7/n+2; 5n+12/3n+7 chứng minh các phân số đó tối giản

Để chứng minh các phân số \( \frac{N+5}{n+6} \), \( \frac{4n+7}{n+2} \), và \( \frac{5n+12}{3n+7} \) tối giản, chúng ta sẽ kiểm tra xem tử số và mẫu số của mỗi phân số có thể chia hết cho cùng một số lớn hơn 1 hay không. 1. Chứng minh phân số \( \frac{N+5}{n+6} \) tối giản - Tử số là \( N + 5 \) - Mẫu số là \( n + 6 \) Ta thấy rằng \( N + 5 \) và \( n + 6 \) không có ước chung nào khác ngoài 1 vì \( N \) và \( n \) là hai biến độc lập và không có mối liên hệ đặc biệt nào giữa chúng. Do đó, phân số này tối giản. 2. Chứng minh phân số \( \frac{4n+7}{n+2} \) tối giản - Tử số là \( 4n + 7 \) - Mẫu số là \( n + 2 \) Giả sử \( 4n + 7 \) và \( n + 2 \) có ước chung là \( d \). Điều này có nghĩa là \( d \) phải chia hết cho cả \( 4n + 7 \) và \( n + 2 \). Ta có: \[ 4n + 7 = d \cdot k_1 \] \[ n + 2 = d \cdot k_2 \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 4: \[ 4(n + 2) = 4d \cdot k_2 \] \[ 4n + 8 = 4d \cdot k_2 \] Bây giờ, lấy \( 4n + 8 \) trừ đi \( 4n + 7 \): \[ (4n + 8) - (4n + 7) = 4d \cdot k_2 - d \cdot k_1 \] \[ 1 = d(4k_2 - k_1) \] Từ đây, ta thấy rằng \( d \) phải là 1 vì 1 là duy nhất số nguyên dương chia hết cho 1. Do đó, \( 4n + 7 \) và \( n + 2 \) không có ước chung nào khác ngoài 1, vậy phân số này tối giản. 3. Chứng minh phân số \( \frac{5n+12}{3n+7} \) tối giản - Tử số là \( 5n + 12 \) - Mẫu số là \( 3n + 7 \) Giả sử \( 5n + 12 \) và \( 3n + 7 \) có ước chung là \( d \). Điều này có nghĩa là \( d \) phải chia hết cho cả \( 5n + 12 \) và \( 3n + 7 \). Ta có: \[ 5n + 12 = d \cdot k_1 \] \[ 3n + 7 = d \cdot k_2 \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 5: \[ 5(3n + 7) = 5d \cdot k_2 \] \[ 15n + 35 = 5d \cdot k_2 \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3: \[ 3(5n + 12) = 3d \cdot k_1 \] \[ 15n + 36 = 3d \cdot k_1 \] Bây giờ, lấy \( 15n + 36 \) trừ đi \( 15n + 35 \): \[ (15n + 36) - (15n + 35) = 3d \cdot k_1 - 5d \cdot k_2 \] \[ 1 = d(3k_1 - 5k_2) \] Từ đây, ta thấy rằng \( d \) phải là 1 vì 1 là duy nhất số nguyên dương chia hết cho 1. Do đó, \( 5n + 12 \) và \( 3n + 7 \) không có ước chung nào khác ngoài 1, vậy phân số này tối giản. Kết luận Các phân số \( \frac{N+5}{n+6} \), \( \frac{4n+7}{n+2} \), và \( \frac{5n+12}{3n+7} \) đều tối giản.