Giải hộ mik ạ

Câu 3 Điều kiện xác định: \( a \geq 0 \) và \( a \neq 1 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \). Ta có: \[ A = \left( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} \right) \left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^2 \] Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức. Phần 1: Rút gọn \( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} \). Nhận thấy rằng \( 1 - a\sqrt{a} = (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a) \): \[ \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} = \frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a \] Phần 2: Rút gọn \( \left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^2 \). Nhận thấy rằng \( 1 - a = (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a}) \): \[ \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} = \frac{1 - \sqrt{a}}{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})} = \frac{1}{1 + \sqrt{a}} \] Do đó: \[ \left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^2 = \left( \frac{1}{1 + \sqrt{a}} \right)^2 = \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^2} \] Bước 3: Kết hợp các phần đã rút gọn lại. \[ A = \left( 1 + \sqrt{a} + a + \sqrt{a} \right) \cdot \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^2} \] \[ A = \left( 1 + 2\sqrt{a} + a \right) \cdot \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^2} \] \[ A = \frac{(1 + \sqrt{a})^2}{(1 + \sqrt{a})^2} \] \[ A = 1 \] Vậy biểu thức \( A \) rút gọn được là \( 1 \). Câu 4 Gọi số quả bóng màu vàng là x (quả bóng, điều kiện: x > 0). Tổng số quả bóng trong hộp là: 6 + x (quả bóng). Xác suất lấy được quả bóng màu vàng là: \[ \frac{x}{6 + x} = 0,75 \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm x: \[ \frac{x}{6 + x} = 0,75 \] \[ x = 0,75(6 + x) \] \[ x = 4,5 + 0,75x \] \[ x - 0,75x = 4,5 \] \[ 0,25x = 4,5 \] \[ x = \frac{4,5}{0,25} \] \[ x = 18 \] Vậy số quả bóng màu vàng là 18 quả bóng. Tổng số quả bóng trong hộp là: \[ 6 + 18 = 24 \] Đáp số: 24 quả bóng. Câu 5 Gọi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được x (sản phẩm, điều kiện: x > 0). Theo đề bài, số ngày dự định để hoàn thành công việc là $\frac{140}{x-4}$ (ngày). Thực tế, số ngày tổ đã hoàn thành công việc là $\frac{140}{x}$ (ngày). Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày nên ta có phương trình: \[ \frac{140}{x-4} - \frac{140}{x} = 4 \] Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{140x - 140(x-4)}{x(x-4)} = 4 \] \[ \frac{140x - 140x + 560}{x(x-4)} = 4 \] \[ \frac{560}{x(x-4)} = 4 \] \[ 560 = 4x(x-4) \] \[ 560 = 4x^2 - 16x \] \[ 4x^2 - 16x - 560 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 140 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 560}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{576}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 24}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{28}{2} = 14 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-20}{2} = -10 \] Vì x > 0 nên ta loại nghiệm x = -10. Vậy thực tế mỗi ngày tổ đã làm được 14 sản phẩm. Câu 6: a) Ta có $\angle SAC=\angle BAM$ (cùng bù với $\angle MAS)$ $\angle AMC=\angle ABC=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \Delta SMA$ đồng dạng với $\Delta SBC$ (góc -góc) b) Ta có $\angle BMA=\angle BMC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) $\angle BMC=\angle DMC$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow \angle BMA=\angle DMC$ $\Rightarrow HK//CD$ (hai góc đồng vị bằng nhau) $\Rightarrow \angle MKH=\angle MDC$ (hai góc đồng vị) Mà $\angle MDC=\angle MBC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MC) $\Rightarrow \angle MKH=\angle MBC$ $\Rightarrow BMHK$ là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°) c) Ta có $\angle OKB=\angle OMB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OB) $\angle OMB=\angle OCB$ (hai góc đồng vị) $\angle OCB=\angle OBC$ (hai góc ở đáy tam giác cân) $\Rightarrow \angle OKB=\angle OBC$ $\Rightarrow OK//BC$ Ta có $\angle OBC=\angle OCB$ (hai góc ở đáy tam giác cân) $\angle OCB=\angle OSA$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow \angle OBC=\angle OSA$ $\Rightarrow OK//AS$ $\Rightarrow OKA$ là tam giác vuông tại K (vì OK vuông góc với AS) $\Rightarrow OK.OS=OB^2=R^2$ (dấu hiệu nhận biết tam giác vuông có đường cao hạ từ đỉnh vuông góc) Câu 7: a) Ta có $\widehat{AMC}=\widehat{ANM}=90^\circ$ nên tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn (1) Tương tự, ta có $\widehat{BNM}=\widehat{BDM}=90^\circ$ nên tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn (2) b) Ta có $\widehat{CAN}=\widehat{CMN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CN) (3) $\widehat{CBN}=\widehat{CDN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CN) (4) Ta lại có $\widehat{CNM}+\widehat{CMD}=180^\circ$ (5) $\widehat{CNM}+\widehat{ANB}=180^\circ$ (tổng hai góc kề bù) (6) Từ (5) và (6) ta có $\widehat{CMD}=\widehat{ANB}$ (7) Từ (3), (4) và (7) ta có $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta CMD.$ c) Ta có $\widehat{ANI}=\widehat{CMI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CN) (8) $\widehat{BNI}=\widehat{DMI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DN) (9) Từ (8) và (9) ta có $\widehat{AIN}=\widehat{DIM}$ (10) Mặt khác, ta có $\widehat{AIB}=\widehat{DIN}$ (đối đỉnh) (11) Từ (10) và (11) ta có $\widehat{BIN}=\widehat{AIN}$ (12) Từ (12) ta có $IK//AB.$ Câu 8: 1) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BOC}=30^\circ$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung BC). $\widehat{ABC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). $\widehat{ABM}=90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến và bán kính). Từ đó suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=60^\circ$. $\widehat{BEM}=180^\circ-\widehat{AEB}=180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Do đó $\widehat{BEM}=\widehat{BOM}$. Suy ra tứ giác OBME nội tiếp đường tròn (chung góc nội tiếp chắn cung BM). 2) Ta có $\widehat{BIM}=\widehat{EOI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE). $\widehat{IBE}=\widehat{IEO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB). Từ đó suy ra $\triangle BIM \sim \triangle EOI$ (góc-góc). Suy ra $\frac{IB}{IO}=\frac{IM}{IE}$. Suy ra $IB \cdot IE = IM \cdot IO$.