giải hộ với ạ

Câu 1. Để tìm phương sai của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{165 + 155 + 160 + 145 + 157 + 162 + 148 + 170 + 172 + 152}{10} \] \[ \bar{x} = \frac{1596}{10} = 159.6 \] 2. Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng: \[ (165 - 159.6)^2 = 5.4^2 = 29.16 \] \[ (155 - 159.6)^2 = (-4.6)^2 = 21.16 \] \[ (160 - 159.6)^2 = 0.4^2 = 0.16 \] \[ (145 - 159.6)^2 = (-14.6)^2 = 213.16 \] \[ (157 - 159.6)^2 = (-2.6)^2 = 6.76 \] \[ (162 - 159.6)^2 = 2.4^2 = 5.76 \] \[ (148 - 159.6)^2 = (-11.6)^2 = 134.56 \] \[ (170 - 159.6)^2 = 10.4^2 = 108.16 \] \[ (172 - 159.6)^2 = 12.4^2 = 153.76 \] \[ (152 - 159.6)^2 = (-7.6)^2 = 57.76 \] 3. Tính tổng của các bình phương hiệu đã tính ở bước 2: \[ 29.16 + 21.16 + 0.16 + 213.16 + 6.76 + 5.76 + 134.56 + 108.16 + 153.76 + 57.76 = 721.4 \] 4. Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{721.4}{10} = 72.14 \] 5. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ s^2 \approx 72.1 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu trên là 72.1. Câu 2. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{40 + 43 + 45 + 41 + 46}{5} = \frac{215}{5} = 43 \] 2. Tính độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình cộng: \[ x_1 - \bar{x} = 40 - 43 = -3 \] \[ x_2 - \bar{x} = 43 - 43 = 0 \] \[ x_3 - \bar{x} = 45 - 43 = 2 \] \[ x_4 - \bar{x} = 41 - 43 = -2 \] \[ x_5 - \bar{x} = 46 - 43 = 3 \] 3. Tính bình phương của các độ lệch: \[ (-3)^2 = 9 \] \[ 0^2 = 0 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ (-2)^2 = 4 \] \[ 3^2 = 9 \] 4. Tính trung bình cộng của các bình phương độ lệch: \[ \frac{9 + 0 + 4 + 4 + 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \] 5. Tính độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{5.2} \approx 2.3 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 2.3 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Câu 3. Để làm tròn số 6 572 với độ chính xác \( d = 100 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định chữ số hàng trăm của số 6 572: - Chữ số hàng trăm là 5. 2. Xác định chữ số hàng chục của số 6 572: - Chữ số hàng chục là 7. 3. So sánh chữ số hàng chục với 5: - Chữ số hàng chục là 7, lớn hơn 5. 4. Áp dụng quy tắc làm tròn: - Nếu chữ số hàng chục lớn hơn hoặc bằng 5, ta làm tròn lên. - Do đó, ta tăng chữ số hàng trăm lên 1 đơn vị và thay các chữ số ở hàng chục và hàng đơn vị thành 0. 5. Thực hiện làm tròn: - Chữ số hàng trăm từ 5 tăng lên thành 6. - Các chữ số hàng chục và hàng đơn vị đều thành 0. Kết quả là số 6 600. Vậy số quy tròn của số 6 572 với độ chính xác \( d = 100 \) là 6 600. Câu 4. Để tìm số gần đúng của \( a = 5,2463 \) với độ chính xác \( d = 0,001 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định khoảng cách giữa các giá trị liên tiếp: - Độ chính xác \( d = 0,001 \) có nghĩa là chúng ta sẽ làm tròn số \( a \) đến hàng phần nghìn. 2. Làm tròn số \( a \) đến hàng phần nghìn: - Số \( a = 5,2463 \) có chữ số ở hàng phần nghìn là 6. - Chữ số liền kề bên phải (hàng phần mười nghìn) là 3. - Vì 3 < 5, nên chúng ta giữ nguyên chữ số hàng phần nghìn là 6. 3. Viết số gần đúng: - Số gần đúng của \( a \) với độ chính xác \( d = 0,001 \) là \( 5,246 \). Vậy, số gần đúng của \( a = 5,2463 \) với độ chính xác \( d = 0,001 \) là \( 5,246 \). Câu 5. Để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song nhau, ta cần đảm bảo rằng hệ số của $x$ và $y$ trong phương trình của chúng phải tỷ lệ với nhau, nhưng hệ số tự do không tỷ lệ theo cùng một tỷ số đó. Phương trình của $d_1$ là: \[ m x + (m - 1) y + 2m = 0 \] Phương trình của $d_2$ là: \[ 2 x + y - 1 = 0 \] Hai đường thẳng song song nếu: \[ \frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1} \neq \frac{2m}{-1} \] Từ điều kiện $\frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1}$, ta có: \[ m = 2(m - 1) \] \[ m = 2m - 2 \] \[ m - 2m = -2 \] \[ -m = -2 \] \[ m = 2 \] Kiểm tra điều kiện $\frac{m}{2} \neq \frac{2m}{-1}$: \[ \frac{2}{2} \neq \frac{2 \cdot 2}{-1} \] \[ 1 \neq \frac{4}{-1} \] \[ 1 \neq -4 \] Điều kiện này đúng, vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Đáp số: $m = 2$. Câu 6. Để tìm số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng. Đường thẳng $d_1:~2x - 4y - 3 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = mx + n$: \[ 2x - 4y - 3 = 0 \\ -4y = -2x + 3 \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \] Hệ số góc của $d_1$ là $m_1 = \frac{1}{2}$. Đường thẳng $d_2:~3x - y + 17 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = mx + n$: \[ 3x - y + 17 = 0 \\ -y = -3x - 17 \\ y = 3x + 17 \] Hệ số góc của $d_2$ là $m_2 = 3$. Bước 2: Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Công thức tính góc $\theta$ giữa hai đường thẳng có hệ số góc $m_1$ và $m_2$ là: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \] Thay $m_1 = \frac{1}{2}$ và $m_2 = 3$ vào công thức: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{\frac{6}{2} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = 1 \] Bước 3: Tìm góc $\theta$ từ giá trị của $\tan(\theta)$. Biết rằng $\tan(\theta) = 1$, ta có: \[ \theta = \arctan(1) = 45^\circ \] Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $45^\circ$. Câu 7. Để lập luận từng bước về tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-4)^2+(y-3)^2=5$ tại điểm $M(a; b)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn: - Đường tròn $(C)$ có tâm $I(4, 3)$ và bán kính $r = \sqrt{5}$. 2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(a, b)$: - Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M(a, b)$ sẽ vuông góc với bán kính từ tâm $I$ đến điểm $M$. - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(a, b)$ trên đường tròn $(C)$ có dạng: \[ (x - 4)(a - 4) + (y - 3)(b - 3) = 5 \] 3. Kiểm tra điều kiện điểm $M(a, b)$ nằm trên đường tròn: - Điểm $M(a, b)$ phải thỏa mãn phương trình của đường tròn $(C)$: \[ (a - 4)^2 + (b - 3)^2 = 5 \] 4. Tìm phương trình tiếp tuyến: - Thay tọa độ của điểm $M(a, b)$ vào phương trình tiếp tuyến: \[ (x - 4)(a - 4) + (y - 3)(b - 3) = 5 \] - Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(a, b)$. Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-4)^2+(y-3)^2=5$ tại điểm $M(a, b)$ là: \[ (x - 4)(a - 4) + (y - 3)(b - 3) = 5 \] Trong đó, điểm $M(a, b)$ phải thỏa mãn phương trình của đường tròn $(a - 4)^2 + (b - 3)^2 = 5$. Câu 6: Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng. - Vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\overrightarrow{n_1} = (2; -4)$. - Vectơ pháp tuyến của $\Delta_2$ là $\overrightarrow{n_2} = (3; -1)$. Bước 2: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\Delta_1; \Delta_2) = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \] Trong đó: - $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\overrightarrow{n_1}|$ và $|\overrightarrow{n_2}|$ là độ dài của hai vectơ. Bước 3: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}$: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 2 \cdot 3 + (-4) \cdot (-1) = 6 + 4 = 10 \] Bước 4: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{n_1}$: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Bước 5: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{n_2}$: \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] Bước 6: Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos(\Delta_1; \Delta_2) = \frac{|10|}{(2\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{10})} = \frac{10}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ \cos(\Delta_1; \Delta_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Đáp số: $\cos(\Delta_1; \Delta_2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Câu 1. Để tính xác suất để tích hai số chấm xuất hiện là số lẻ khi gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: - Mỗi lần gieo xúc sắc có 6 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5, 6). - Gieo xúc sắc hai lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là \(6 \times 6 = 36\) kết quả. 2. Xác định các trường hợp thuận lợi: - Để tích của hai số chấm là số lẻ, cả hai số chấm đều phải là số lẻ. - Các số lẻ trên xúc sắc là 1, 3, 5. - Số cách chọn hai số lẻ từ các lần gieo là \(3 \times 3 = 9\) cách. 3. Tính xác suất: - Xác suất để tích hai số chấm xuất hiện là số lẻ là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \] Vậy xác suất để tích hai số chấm xuất hiện là số lẻ là \(\frac{1}{4}\). Câu 2. Để tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $|NP - NQ|$ lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hình chiếu của điểm P lên đường thẳng $\Delta$: - Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $2x - y - 1 = 0$. - Đường thẳng qua P(1;6) vuông góc với $\Delta$ sẽ có dạng: $y - 6 = -\frac{1}{2}(x - 1)$. - Gọi giao điểm của đường thẳng này với $\Delta$ là H(a,b). Thay vào phương trình của $\Delta$: \[ 2a - b - 1 = 0 \] \[ b - 6 = -\frac{1}{2}(a - 1) \] - Giải hệ phương trình này: \[ b = 2a - 1 \] \[ 2a - 1 - 6 = -\frac{1}{2}(a - 1) \] \[ 2a - 7 = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2} \] \[ 4a - 14 = -a + 1 \] \[ 5a = 15 \] \[ a = 3 \] \[ b = 2(3) - 1 = 5 \] - Vậy H(3;5). 2. Tìm tọa độ điểm N: - Điểm N nằm trên đường thẳng $\Delta$ và thuộc đoạn thẳng PQ kéo dài qua H. - Ta thấy rằng N sẽ nằm trên đường thẳng đi qua H và song song với PQ. - Phương trình đường thẳng đi qua H(3;5) và song song với PQ: \[ y - 5 = \frac{-4 - 6}{-3 - 1}(x - 3) \] \[ y - 5 = \frac{-10}{-4}(x - 3) \] \[ y - 5 = \frac{5}{2}(x - 3) \] \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{15}{2} + 5 \] \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2} \] 3. Giao điểm của đường thẳng này với $\Delta$: - Thay phương trình của đường thẳng này vào phương trình của $\Delta$: \[ 2x - \left(\frac{5}{2}x - \frac{5}{2}\right) - 1 = 0 \] \[ 2x - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2} - 1 = 0 \] \[ \frac{4x - 5x + 5 - 2}{2} = 0 \] \[ -x + 3 = 0 \] \[ x = 3 \] \[ y = \frac{5}{2}(3) - \frac{5}{2} = \frac{15}{2} - \frac{5}{2} = 5 \] - Vậy giao điểm là N(3;5). Do đó, tọa độ điểm N thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $|NP - NQ|$ lớn nhất là N(3;5). Câu 3. Để tìm điểm \( M \) trên trục \( Oy \) sao cho \( MA^2 + MB^2 \) nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Vì \( M \) nằm trên trục \( Oy \), nên tọa độ của \( M \) sẽ có dạng \( (0, y) \). 2. Tính khoảng cách \( MA \) và \( MB \): - Khoảng cách từ \( M \) đến \( A \): \[ MA = \sqrt{(0 - 1)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{1 + (y + 1)^2} \] Do đó, \[ MA^2 = 1 + (y + 1)^2 \] - Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \): \[ MB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{9 + (y - 2)^2} \] Do đó, \[ MB^2 = 9 + (y - 2)^2 \] 3. Tính tổng \( MA^2 + MB^2 \): \[ MA^2 + MB^2 = 1 + (y + 1)^2 + 9 + (y - 2)^2 \] \[ = 10 + (y + 1)^2 + (y - 2)^2 \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ (y + 1)^2 + (y - 2)^2 = y^2 + 2y + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2y^2 - 2y + 5 \] Do đó, \[ MA^2 + MB^2 = 10 + 2y^2 - 2y + 5 = 2y^2 - 2y + 15 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 2y^2 - 2y + 15 \): Biểu thức \( 2y^2 - 2y + 15 \) là một tam thức bậc hai theo \( y \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta sử dụng công thức tính giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai \( ay^2 + by + c \): \[ y_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} \] Ở đây, \( a = 2 \), \( b = -2 \), và \( c = 15 \). Do đó, \[ y_{\text{min}} = -\frac{-2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 6. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Thay \( y = \frac{1}{2} \) vào biểu thức \( 2y^2 - 2y + 15 \): \[ 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2}\right) + 15 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 + 15 = \frac{1}{2} - 1 + 15 = \frac{1}{2} + 14 = 14.5 \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 \) là 14.5, đạt được khi \( y = \frac{1}{2} \). Do đó, điểm \( M \) trên trục \( Oy \) sao cho \( MA^2 + MB^2 \) nhỏ nhất là \( M \left(0, \frac{1}{2}\right) \). Câu 4. Để viết phương trình đường tròn tâm $I(-1;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:~3x+4y-5=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$. Khoảng cách này sẽ là bán kính của đường tròn. Phương trình đường thẳng $d$ có dạng $Ax + By + C = 0$, trong đó $A = 3$, $B = 4$, và $C = -5$. Tâm $I$ có tọa độ $(-1; 3)$. Khoảng cách từ điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Áp dụng công thức này: \[ d = \frac{|3(-1) + 4(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-3 + 12 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|4|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} \] Vậy bán kính của đường tròn là $\frac{4}{5}$. Bước 2: Viết phương trình đường tròn. Phương trình đường tròn tâm $(a, b)$ và bán kính $r$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] Trong trường hợp này, tâm $I$ có tọa độ $(-1, 3)$ và bán kính $r = \frac{4}{5}$. Do đó, phương trình đường tròn là: \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{16}{25} \] Đáp số: Phương trình đường tròn là $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{16}{25}$. Câu 5. Để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB: - Tìm trung điểm của AB: \[ M_{AB} = \left( \frac{3+2}{2}, \frac{5+3}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 4 \right) \] - Tìm vectơ pháp tuyến của AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2-3, 3-5) = (-1, -2) \] Vectơ pháp tuyến của AB là $\overrightarrow{n_{AB}} = (2, -1)$. - Phương trình đường trung trực của AB: \[ 2(x - \frac{5}{2}) - 1(y - 4) = 0 \implies 2x - 5 - y + 4 = 0 \implies 2x - y - 1 = 0 \] 2. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC: - Tìm trung điểm của BC: \[ M_{BC} = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{3+2}{2} \right) = (4, \frac{5}{2}) \] - Tìm vectơ pháp tuyến của BC: \[ \overrightarrow{BC} = (6-2, 2-3) = (4, -1) \] Vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n_{BC}} = (1, 4)$. - Phương trình đường trung trực của BC: \[ 1(x - 4) + 4(y - \frac{5}{2}) = 0 \implies x - 4 + 4y - 10 = 0 \implies x + 4y - 14 = 0 \] 3. Tìm giao điểm của hai đường trung trực: - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ x + 4y - 14 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ y = 2x - 1 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ x + 4(2x - 1) - 14 = 0 \implies x + 8x - 4 - 14 = 0 \implies 9x - 18 = 0 \implies x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào \( y = 2x - 1 \): \[ y = 2(2) - 1 = 3 \] Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \( I(2, 3) \). 4. Tính bán kính R của đường tròn: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến một đỉnh của tam giác, ví dụ đỉnh A: \[ R = IA = \sqrt{(3-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] 5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: - Phương trình đường tròn có tâm \( I(2, 3) \) và bán kính \( R = \sqrt{5} \): \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \] Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \]