Giai dap cau hoi

Câu 1. Mặt cầu $(S):~(x-3)^2+y^2+(z+1)^2=16$ có dạng chuẩn là $(x-3)^2+(y-0)^2+(z+1)^2=4^2$. Từ đó, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu là $I(3, 0, -1)$ và bán kính là $R = 4$. Do đó, đáp án đúng là: $\textcircled{D}.~I(3;0;-1);R=4.$ Câu 2. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \), ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào các đoạn trên trục \( x \). Hình phẳng này bao gồm hai phần: 1. Phần từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), trong đó \( f(x) \leq 0 \). 2. Phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), trong đó \( f(x) \geq 0 \). Diện tích của mỗi phần sẽ được tính bằng tích phân tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) trên các đoạn tương ứng. - Diện tích phần từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \): \[ S_1 = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx \] - Diện tích phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ S_2 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Tổng diện tích \( S \) sẽ là tổng của hai diện tích này: \[ S = S_1 + S_2 = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~S = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Câu 3. Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ (với $k = 0$). - Đây là tính chất của tích phân, và nó đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. B. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$. - Đây cũng là tính chất của tích phân, và nó đúng vì tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của mỗi hàm số. C. $\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$. - Đây cũng là tính chất của tích phân, và nó đúng vì tích phân của hiệu hai hàm số bằng hiệu các tích phân của mỗi hàm số. D. $\int [f(x)g(x)]dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$. - Đây là khẳng định sai. Tích phân của tích hai hàm số không bằng tích của các tích phân của mỗi hàm số. Tính chất này không tồn tại trong lý thuyết tích phân. Vậy khẳng định sai là: \[ \boxed{\text{D}} \] Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;-2;2)\), ta sử dụng công thức lập phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + t \cdot u_x \\ y = y_0 + t \cdot u_y \\ z = z_0 + t \cdot u_z \end{array} \right. \] Trong đó, \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm \(M\) và \((u_x, u_y, u_z)\) là các thành phần của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Thay tọa độ của điểm \(M(1;0;1)\) và các thành phần của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;-2;2)\) vào công thức trên, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \cdot 1 \\ y = 0 + t \cdot (-2) \\ z = 1 + t \cdot 2 \end{array} \right. \] Simplifying the equations, we get: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \textcircled{D}. \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: D. Câu 5. Câu hỏi: Nếu $\int^\dagger_\int f(x)dx=4$ và $^\prime_1g(x)dx=-3$ thì $\int_{[f(x)-g(x)]dx}f_{[f(x)-g(x)]dx}$ bằng A. 1. B. -1. C. -7. D. 7. Câu trả lời: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, nếu $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ và $\int_a^b g(x) \, dx = G(b) - G(a)$, thì tích phân của hiệu hai hàm số sẽ là: \[ \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \int [f(x) - g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \] Biết rằng $\int f(x) \, dx = 4$ và $\int g(x) \, dx = -3$, ta thay vào: \[ \int [f(x) - g(x)] \, dx = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là D. 7. Đáp án: D. 7. Câu 6. Để xác định khẳng định đúng về hàm số \( f(x) = e^x + 2x \), chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của hàm số này. 1. Tính chất đơn điệu: - Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + 2x) = e^x + 2 \] - Vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \), nên \( e^x + 2 > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \). Kết luận: Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. 2. Giá trị cực đại và cực tiểu: - Vì \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \), hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. 3. Giới hạn tại vô cùng: - Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x + 2x) = +\infty \] - Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x + 2x) = -\infty \] 4. Điểm cắt trục tọa độ: - Để tìm giao điểm với trục \( Oy \) (tức là khi \( x = 0 \)): \[ f(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 \] Vậy hàm số cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 1) \). - Để tìm giao điểm với trục \( Ox \) (tức là khi \( f(x) = 0 \)): \[ e^x + 2x = 0 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \) và \( 2x \) chỉ có thể bằng 0 khi \( x = 0 \), nhưng \( e^0 = 1 \neq 0 \). Kết luận: Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó, không có điểm cực đại hoặc cực tiểu, và cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 1) \).