giải kĩ câu này

a) Hàm số đã cho $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1}.$ Ta phân tích: $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} = \frac{x^2 + x + x + 5}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 5 + x}{x + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} + \frac{5 + x}{x + 1} = x + \frac{5 + x}{x + 1} = x + \frac{x + 1 + 4}{x + 1} = x + 1 + \frac{4}{x + 1} = x + 1 + 4.\frac{1}{x + 1}.$ Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = x + 1,$ và tiệm cận đứng là $x = -1.$ Suy ra tọa độ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C) là $(-1; 0).$ b) Để tìm điểm cực trị, ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0. Đạo hàm của hàm số là: $y' = \frac{(x + 1)(2x + 2) - (x^2 + 2x + 5)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 5}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}.$ Vì $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1),$ nên ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = -3 \text{ hoặc } x = 1.$ Vậy các điểm cực trị của đồ thị hàm số là $(-3; 2)$ và $(1; 4).$ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $\sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$ Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $2\sqrt{5},$ không phải $4\sqrt{5}.$ c) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung là tiếp tuyến tại điểm $(0; 5).$ Đạo hàm của hàm số tại điểm $(0; 5)$ là: $y' = \frac{(0 + 1)(2.0 + 2) - (0^2 + 2.0 + 5)}{(0 + 1)^2} = 2 - 5 = -3.$ Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0; 5)$ là: $y - 5 = -3(x - 0) \Leftrightarrow y = -3x + 5,$ không phải $y = 3x + 5.$ d) Để tìm điểm $M(x_M, y_M)$ thuộc đồ thị (C) sao cho $x_M > -1$ và độ dài $IM$ ngắn nhất, ta cần tìm điểm trên đồ thị có khoảng cách đến tâm đối xứng $I(-1; 0)$ là nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm $M(x_M, y_M)$ đến tâm đối xứng $I(-1; 0)$ là: $IM = \sqrt{(x_M + 1)^2 + y_M^2}.$ Vì $y_M = \frac{x_M^2 + 2x_M + 5}{x_M + 1},$ nên: $IM = \sqrt{(x_M + 1)^2 + \left(\frac{x_M^2 + 2x_M + 5}{x_M + 1}\right)^2} = \sqrt{\frac{(x_M + 1)^4 + (x_M^2 + 2x_M + 5)^2}{(x_M + 1)^2}}.$ Để tìm điểm có khoảng cách đến tâm đối xứng là nhỏ nhất, ta cần tìm điểm có $(x_M + 1)^2 + (x_M^2 + 2x_M + 5)^2$ là nhỏ nhất. Giả sử $(x_M + 1)^2 + (x_M^2 + 2x_M + 5)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_M = a,$ thì tại đó: $\frac{d}{dx}[(x_M + 1)^2 + (x_M^2 + 2x_M + 5)^2] = 0.$ Khai triển và giải phương trình ta được $a = -2.$ Thay $x_M = -2$ vào công thức tính $y_M,$ ta được: $y_M = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 5}{-2 + 1} = -3.$ Vậy tung độ $y_M$ của điểm $M(x_M, y_M)$ là $-3,$ không phải lớn hơn $4.$