mình cần lời giải thích chi tiết nhất

Bài 15. Gọi số học sinh của lớp 8A theo dự định ban đầu là x học sinh. Theo đề bài, sau khi nhận thêm 4 học sinh, số học sinh của lớp 8A là x + 4 học sinh. Ban đầu, lớp 8A được chia thành 3 tổ, do đó mỗi tổ có $\frac{x}{3}$ học sinh. Sau khi nhận thêm 4 học sinh, lớp 8A được chia thành 4 tổ, do đó mỗi tổ có $\frac{x + 4}{4}$ học sinh. Theo đề bài, số học sinh của mỗi tổ hiện nay ít hơn 2 học sinh so với dự định ban đầu, tức là: $\frac{x}{3} - \frac{x + 4}{4} = 2$ Quy đồng mẫu số hai phân số: $\frac{4x}{12} - \frac{3(x + 4)}{12} = 2$ $\frac{4x - 3(x + 4)}{12} = 2$ $\frac{4x - 3x - 12}{12} = 2$ $\frac{x - 12}{12} = 2$ Nhân cả hai vế với 12: $x - 12 = 24$ $x = 24 + 12$ $x = 36$ Vậy số học sinh của lớp 8A theo dự định ban đầu là 36 học sinh. Sau khi nhận thêm 4 học sinh, số học sinh của lớp 8A hiện nay là: 36 + 4 = 40 (học sinh) Đáp số: 40 học sinh. Bài 36. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ nhà đến trường là: $v_{1} = 15$ km/h. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi về là: $v_{2} = 12$ km/h. Gọi thời gian đi từ nhà đến trường là: t1 (giờ). Thời gian về là: t2 (giờ). Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 4 phút, ta có: \[ t_2 = t_1 + \frac{4}{60} = t_1 + \frac{1}{15} \] Quãng đường từ nhà đến trường là: s (km). Ta có: \[ s = v_1 \times t_1 = 15 \times t_1 \] \[ s = v_2 \times t_2 = 12 \times \left(t_1 + \frac{1}{15}\right) \] Bằng cách đặt hai biểu thức trên bằng nhau, ta có: \[ 15 \times t_1 = 12 \times \left(t_1 + \frac{1}{15}\right) \] \[ 15 \times t_1 = 12 \times t_1 + 12 \times \frac{1}{15} \] \[ 15 \times t_1 = 12 \times t_1 + \frac{12}{15} \] \[ 15 \times t_1 = 12 \times t_1 + \frac{4}{5} \] \[ 15 \times t_1 - 12 \times t_1 = \frac{4}{5} \] \[ 3 \times t_1 = \frac{4}{5} \] \[ t_1 = \frac{4}{5} \div 3 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{15} \text{ giờ} \] Quãng đường từ nhà đến trường là: \[ s = 15 \times t_1 = 15 \times \frac{4}{15} = 4 \text{ km} \] Đáp số: 4 km. Bài 17. Gọi vận tốc của canô khi xuôi dòng là \( v_x \) (km/h) và vận tốc của canô khi ngược dòng là \( v_n \) (km/h). Biết rằng vận tốc của dòng nước là 10 km/h, ta có: - Vận tốc của canô khi xuôi dòng: \( v_x = v_{cano} + 10 \) - Vận tốc của canô khi ngược dòng: \( v_n = v_{cano} - 10 \) Thời gian xuôi dòng là 4 giờ và thời gian ngược dòng là 5 giờ. Khoảng cách giữa hai bến A và B là \( d \) (km). Ta có: \[ d = v_x \times 4 \] \[ d = v_n \times 5 \] Từ hai phương trình trên, ta có: \[ v_x \times 4 = v_n \times 5 \] Thay \( v_x \) và \( v_n \) vào phương trình: \[ (v_{cano} + 10) \times 4 = (v_{cano} - 10) \times 5 \] Phát triển và giải phương trình: \[ 4v_{cano} + 40 = 5v_{cano} - 50 \] \[ 40 + 50 = 5v_{cano} - 4v_{cano} \] \[ 90 = v_{cano} \] Vậy vận tốc của canô là 90 km/h. Bây giờ, ta tính khoảng cách \( d \): \[ d = (90 + 10) \times 4 = 100 \times 4 = 400 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là 400 km. Bài 18. Gọi vận tốc dự định người đi bộ từ A đến B là $v_{\text{dự định}} = 4$ km/h. Thời gian dự định đi từ A đến B là $\frac{d}{4}$ giờ, trong đó $d$ là quãng đường AB. Sau khi đi được nửa quãng đường AB với vận tốc 4 km/h, người đó đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h. Thời gian đi nửa quãng đường AB với vận tốc 4 km/h là $\frac{d/2}{4} = \frac{d}{8}$ giờ. Thời gian đi nửa quãng đường AB với vận tốc 30 km/h là $\frac{d/2}{30} = \frac{d}{60}$ giờ. Tổng thời gian thực tế đi từ A đến B là $\frac{d}{8} + \frac{d}{60}$ giờ. Theo đề bài, tổng thời gian thực tế đi từ A đến B sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút, tức là 2,17 giờ. Ta có phương trình: \[ \frac{d}{4} - \left( \frac{d}{8} + \frac{d}{60} \right) = 2,17 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{d}{4} - \left( \frac{15d}{120} + \frac{2d}{120} \right) = 2,17 \] \[ \frac{d}{4} - \frac{17d}{120} = 2,17 \] Chuyển $\frac{d}{4}$ sang cùng một mẫu số: \[ \frac{30d}{120} - \frac{17d}{120} = 2,17 \] \[ \frac{13d}{120} = 2,17 \] Nhân cả hai vế với 120: \[ 13d = 2,17 \times 120 \] \[ 13d = 260,4 \] Chia cả hai vế cho 13: \[ d = \frac{260,4}{13} \] \[ d = 20,03 \approx 20 \text{ km} \] Vậy chiều dài quãng đường AB là 20 km. Bài 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày: Số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày là: \[ \frac{1500}{30} = 50 \text{ (sản phẩm/ngày)} \] 2. Tính số sản phẩm thực tế sản xuất mỗi ngày: Số sản phẩm thực tế sản xuất mỗi ngày là: \[ 50 + 15 = 65 \text{ (sản phẩm/ngày)} \] 3. Tính tổng số sản phẩm thực tế sản xuất: Tổng số sản phẩm thực tế sản xuất là: \[ 1500 + 255 = 1755 \text{ (sản phẩm)} \] 4. Tính số ngày thực tế sản xuất: Số ngày thực tế sản xuất là: \[ \frac{1755}{65} = 27 \text{ (ngày)} \] 5. Tính số ngày rút ngắn được: Số ngày rút ngắn được là: \[ 30 - 27 = 3 \text{ (ngày)} \] Đáp số: Thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được 3 ngày. Bài 20. Gọi theo kế hoạch xưởng phải may x áo. Theo thực tế, xưởng đã may được x + 20 áo. Thời gian theo kế hoạch là $\frac{x}{30}$ ngày. Thời gian thực tế là $\frac{x + 20}{40}$ ngày. Vì thực tế hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày nên ta có phương trình: $\frac{x}{30} - \frac{x + 20}{40} = 3$ Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $\frac{4x - 3(x + 20)}{120} = 3$ $\frac{4x - 3x - 60}{120} = 3$ $\frac{x - 60}{120} = 3$ $x - 60 = 360$ $x = 420$ Vậy theo kế hoạch xưởng phải may 420 áo. Bài 21. Gọi số ngày dự định trồng cây là $x$ (ngày, $x > 1$). Theo đề bài, năng suất thực tế là $300 + 100 = 400$ (cây/ngày). Số cây dự định trồng là $300x$ (cây). Số cây thực tế trồng là $400(x - 1)$ (cây). Vì thực tế trồng thêm được 600 cây so với dự định nên ta có phương trình: \[ 400(x - 1) = 300x + 600 \] Giải phương trình này: \[ 400x - 400 = 300x + 600 \] \[ 400x - 300x = 600 + 400 \] \[ 100x = 1000 \] \[ x = 10 \] Vậy số cây dự định trồng là: \[ 300 \times 10 = 3000 \text{ (cây)} \] Đáp số: 3000 cây. Bài 22. Gọi thời gian chạy bộ của anh Bình là \( x \) phút (điều kiện: \( 0 < x < 40 \)). Thời gian bơi của anh Bình là \( 40 - x \) phút. Số calo tiêu hao khi chạy bộ là \( 10x \) calo. Số calo tiêu hao khi bơi là \( 14(40 - x) \) calo. Theo đề bài, tổng số calo tiêu hao là 500 calo, ta có phương trình: \[ 10x + 14(40 - x) = 500 \] Giải phương trình: \[ 10x + 560 - 14x = 500 \] \[ -4x + 560 = 500 \] \[ -4x = 500 - 560 \] \[ -4x = -60 \] \[ x = \frac{-60}{-4} \] \[ x = 15 \] Vậy thời gian chạy bộ của anh Bình là 15 phút. Bài 23. Gọi số tiền chưa tính thuế VAT của loại hàng thứ nhất là \( x \) nghìn đồng. Số tiền chưa tính thuế VAT của loại hàng thứ hai là \( y \) nghìn đồng. Theo đề bài, ta có: \[ x + y + \frac{10}{100}x + \frac{8}{100}y = 120 \] \[ x + y + 0.1x + 0.08y = 120 \] \[ 1.1x + 1.08y = 120 \] Ta cũng biết rằng tổng số tiền chưa tính thuế VAT của cả hai loại hàng là: \[ x + y = 110 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1.1x + 1.08y = 120 \\ x + y = 110 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 110 - x \] Thay \( y = 110 - x \) vào phương trình thứ nhất: \[ 1.1x + 1.08(110 - x) = 120 \] \[ 1.1x + 118.8 - 1.08x = 120 \] \[ 0.02x + 118.8 = 120 \] \[ 0.02x = 120 - 118.8 \] \[ 0.02x = 1.2 \] \[ x = \frac{1.2}{0.02} \] \[ x = 60 \] Thay \( x = 60 \) vào \( y = 110 - x \): \[ y = 110 - 60 \] \[ y = 50 \] Vậy, nếu không tính thuế VAT, Lan phải trả cho loại hàng thứ nhất là 60 nghìn đồng và cho loại hàng thứ hai là 50 nghìn đồng. Bài 24. Gọi giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A là \( x \) triệu đồng (điều kiện: \( x > 0 \)). Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh loại B là \( 36,8 - x \) triệu đồng. Sau khi giảm giá, giá bán của một chiếc ti vi loại A là: \[ x - 0,3x = 0,7x \text{ (triệu đồng)} \] Sau khi giảm giá, giá bán của một chiếc tủ lạnh loại B là: \[ (36,8 - x) - 0,25(36,8 - x) = 0,75(36,8 - x) \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, tổng số tiền bác Cường đã mua một chiếc ti vi và một chiếc tủ lạnh là 26,805 triệu đồng, ta có phương trình: \[ 0,7x + 0,75(36,8 - x) = 26,805 \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ 0,7x + 0,75 \times 36,8 - 0,75x = 26,805 \] \[ 0,7x + 27,6 - 0,75x = 26,805 \] \[ -0,05x + 27,6 = 26,805 \] \[ -0,05x = 26,805 - 27,6 \] \[ -0,05x = -0,795 \] \[ x = \frac{-0,795}{-0,05} \] \[ x = 15,9 \] Vậy giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A là 15,9 triệu đồng. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh loại B là: \[ 36,8 - 15,9 = 20,9 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: Giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A là 15,9 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh loại B là 20,9 triệu đồng. Bài 25. Để hàm số $y = f(x) = (m^2 - m)x^2 + mx + 2$ là hàm số bậc nhất, hệ số của $x^2$ phải bằng 0, tức là $m^2 - m = 0$. Bước 1: Giải phương trình $m^2 - m = 0$. \[ m(m - 1) = 0 \] \[ m = 0 \text{ hoặc } m = 1 \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện để hàm số bậc nhất. - Nếu $m = 0$, ta có $y = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 = 2$. Đây là hàm số hằng, không phải hàm số bậc nhất. - Nếu $m = 1$, ta có $y = (1^2 - 1)x^2 + 1 \cdot x + 2 = 0 \cdot x^2 + x + 2 = x + 2$. Đây là hàm số bậc nhất. Vậy, để hàm số $y = f(x) = (m^2 - m)x^2 + mx + 2$ là hàm số bậc nhất, giá trị của $m$ phải là $m = 1$. Đáp số: $m = 1$. Bài 26. a) Vẽ đồ thị của các hàm số $d_1:~y=-x+4$ và $d_2:~y=x-4$ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Đồ thị của hàm số $d_1:~y=-x+4$ là đường thẳng đi qua điểm $(0,4)$ và $(4,0)$. Đồ thị của hàm số $d_2:~y=x-4$ là đường thẳng đi qua điểm $(0,-4)$ và $(4,0)$. b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d_1$, $d_2$ với trục tung và giao điểm của hai đường thẳng là C. Tìm tọa độ giao điểm A, B, C. - Giao điểm của đường thẳng $d_1$ với trục tung là điểm A, có tọa độ $(0,4)$. - Giao điểm của đường thẳng $d_2$ với trục tung là điểm B, có tọa độ $(0,-4)$. - Để tìm giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x - 4 \end{cases} \] Bằng phương pháp thay thế, ta có: \[ -x + 4 = x - 4 \] \[ -x - x = -4 - 4 \] \[ -2x = -8 \] \[ x = 4 \] Thay $x = 4$ vào phương trình $y = -x + 4$, ta có: \[ y = -4 + 4 = 0 \] Vậy giao điểm của hai đường thẳng là điểm C, có tọa độ $(4,0)$. c) Tính diện tích tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \] Ở đây, đáy của tam giác ABC là đoạn thẳng AB trên trục tung, có độ dài là: \[ AB = |4 - (-4)| = 8 \] Cao của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm C đến trục tung, có độ dài là: \[ C = 4 \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \] Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 16. Bài 27. Để tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng luôn đi qua với mọi giá trị của m, ta cần tìm tọa độ của điểm đó sao cho nó thỏa mãn phương trình đường thẳng với mọi giá trị của m. a) \( y = (m-2)x + 3 \) Ta thấy rằng nếu \( x = 0 \), thì \( y = 3 \). Do đó, điểm cố định là \( (0, 3) \). b) \( y = mx + (m + 2) \) Ta thấy rằng nếu \( x = 1 \), thì \( y = m \cdot 1 + (m + 2) = 2m + 2 \). Để tìm điểm cố định, ta cần \( y \) không phụ thuộc vào \( m \). Ta thử \( x = -1 \): \( y = m(-1) + (m + 2) = -m + m + 2 = 2 \) Do đó, điểm cố định là \( (-1, 2) \). c) \( y = (m-1)x + (2m-1) \) Ta thấy rằng nếu \( x = 2 \), thì \( y = (m-1) \cdot 2 + (2m-1) = 2m - 2 + 2m - 1 = 4m - 3 \). Để tìm điểm cố định, ta cần \( y \) không phụ thuộc vào \( m \). Ta thử \( x = 1 \): \( y = (m-1) \cdot 1 + (2m-1) = m - 1 + 2m - 1 = 3m - 2 \) Ta thử \( x = -1 \): \( y = (m-1)(-1) + (2m-1) = -m + 1 + 2m - 1 = m \) Ta thử \( x = 0 \): \( y = (m-1) \cdot 0 + (2m-1) = 2m - 1 \) Ta thử \( x = -2 \): \( y = (m-1)(-2) + (2m-1) = -2m + 2 + 2m - 1 = 1 \) Do đó, điểm cố định là \( (-2, 1) \). Đáp số: a) Điểm cố định là \( (0, 3) \) b) Điểm cố định là \( (-1, 2) \) c) Điểm cố định là \( (-2, 1) \) Bài 28. Để xác định đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(1;2)\) và có hệ số góc bằng 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ số góc \(a\): - Theo đề bài, hệ số góc \(a\) của đường thẳng \(d\) là 3. - Vậy \(a = 3\). 2. Thay tọa độ điểm \(M(1;2)\) vào phương trình đường thẳng: - Phương trình đường thẳng là \(y = 3x + b\). - Thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào phương trình: \[ 2 = 3 \cdot 1 + b \] - Giải phương trình này để tìm \(b\): \[ 2 = 3 + b \implies b = 2 - 3 \implies b = -1 \] 3. Viết phương trình đường thẳng: - Với \(a = 3\) và \(b = -1\), phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ y = 3x - 1 \] 4. Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ: - Để vẽ đường thẳng, ta cần tìm tọa độ của hai điểm trên đường thẳng. - Chọn \(x = 0\): \[ y = 3 \cdot 0 - 1 = -1 \implies (0, -1) \] - Chọn \(x = 1\): \[ y = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \implies (1, 2) \] - Vẽ hai điểm \((0, -1)\) và \((1, 2)\) trên mặt phẳng tọa độ, sau đó nối hai điểm này bằng một đường thẳng. Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = 3x - 1\).