Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( M(3, 4) \). Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn. - Đường tròn có phương trình \( x^2 + y^2 = 25 \) có tâm \( O(0, 0) \) và bán kính \( R = 5 \). Bước 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( M(3, 4) \). - Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( x^2 + y^2 = R^2 \) tại điểm \( (x_1, y_1) \) là: \[ x_1x + y_1y = R^2 \] - Thay \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 4 \) và \( R = 5 \): \[ 3x + 4y = 25 \] Bước 3: So sánh phương trình tiếp tuyến với phương trình đã cho \( ax + 4y + c = 0 \). - Ta thấy rằng phương trình tiếp tuyến \( 3x + 4y = 25 \) có thể viết lại thành: \[ 3x + 4y - 25 = 0 \] - So sánh với \( ax + 4y + c = 0 \), ta nhận thấy \( a = 3 \) và \( c = -25 \). Bước 4: Tính giá trị biểu thức \( a + c \). \[ a + c = 3 + (-25) = -22 \] Vậy giá trị biểu thức \( a + c \) là \(-22\). Câu 2: Để phương trình $x^2 + y^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình của một đường tròn, ta cần kiểm tra điều kiện để phương trình này có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, tức là $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó $R > 0$. Ta thực hiện phép hoàn chỉnh bình phương cho phương trình đã cho: \[ x^2 + y^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0 \] Hoàn chỉnh bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ (x - (m+2))^2 - (m+2)^2 + (y + 2m)^2 - (2m)^2 + 19m - 6 = 0 \] Sắp xếp lại phương trình: \[ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 = (m+2)^2 + (2m)^2 - 19m + 6 \] Phương trình này sẽ là phương trình của một đường tròn nếu: \[ (m+2)^2 + (2m)^2 - 19m + 6 > 0 \] Tính toán biểu thức bên phải: \[ (m+2)^2 + (2m)^2 - 19m + 6 = m^2 + 4m + 4 + 4m^2 - 19m + 6 = 5m^2 - 15m + 10 \] Do đó, ta cần: \[ 5m^2 - 15m + 10 > 0 \] Chia cả hai vế cho 5: \[ m^2 - 3m + 2 > 0 \] Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ (m-1)(m-2) > 0 \] Giải bất phương trình này: - \(m < 1\) hoặc \(m > 2\) Vì \(m \in [-10; 10]\), ta có các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện trên là: \[ m = -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \] Tổng cộng có 19 giá trị nguyên của \(m\). Đáp số: 19 giá trị nguyên của \(m\). Câu 3: Để tìm bán kính chiếc bánh pizza ban đầu, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của bánh pizza: - Ta thấy rằng đoạn thẳng $AH$ là đường kính của bánh pizza, vì nó đi qua tâm của bánh pizza và hai đầu của nó nằm trên viền bánh pizza. - Bán kính của bánh pizza là $\frac{AH}{2}$. 2. Tính bán kính: - Bán kính của bánh pizza là: \[ R = \frac{AH}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ cm} \] 3. Kiểm tra lại các thông tin đã cho: - Đoạn thẳng $BC$ có độ dài là 10 cm, nhưng nó không liên quan trực tiếp đến việc tính bán kính bánh pizza, vì nó không phải là đường kính hoặc bán kính. Vậy bán kính chiếc bánh pizza ban đầu là 12.5 cm. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. - Ta tính độ dài các cạnh của tam giác OAB: - \(OA = 8\) - \(OB = 6\) - \(AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) Bước 2: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. - Đường trung trực của OA đi qua trung điểm của OA và vuông góc với OA. - Đường trung trực của OB đi qua trung điểm của OB và vuông góc với OB. - Đường trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp - Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có thể tính bằng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] trong đó \(a, b, c\) là độ dài các cạnh của tam giác và \(S\) là diện tích tam giác. - Diện tích tam giác OAB: \[ S = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \] - Bán kính \(R\): \[ R = \frac{8 \times 6 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5 \] Bước 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp - Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực, dễ dàng thấy tâm là \((4, 3)\). Phương trình đường tròn ngoại tiếp: \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 \] b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác OAB - Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. - Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác OAB có thể tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] trong đó \(S\) là diện tích tam giác và \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Bước 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp - Nửa chu vi \(p\) của tam giác OAB: \[ p = \frac{OA + OB + AB}{2} = \frac{8 + 6 + 10}{2} = 12 \] - Bán kính \(r\): \[ r = \frac{24}{12} = 2 \] Bước 3: Tìm tâm đường tròn nội tiếp - Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. - Dễ dàng thấy tâm là \((2, 2)\). Phương trình đường tròn nội tiếp: \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \] Đáp số: a) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\). b) Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\). Câu 2: Để viết phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(-4;2)\) và cắt đường tròn \((C): x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(M\) và \(N\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn \((C)\): Ta viết lại phương trình của đường tròn dưới dạng chuẩn: \[ x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = 5 + 9 + 1 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \] Vậy tâm của đường tròn là \(I(-3, 1)\) và bán kính \(r = \sqrt{5}\). 2. Xác định phương trình đường thẳng \(d\): Vì \(A\) là trung điểm của \(M\) và \(N\), đường thẳng \(d\) phải vuông góc với đường thẳng nối tâm \(I\) của đường tròn với điểm \(A\). Ta tính vectơ \(IA\): \[ IA = (-4 - (-3), 2 - 1) = (-1, 1) \] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ là \(n = (-1, 1)\). 3. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(-4, 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(n = (-1, 1)\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \[ -1(x + 4) + 1(y - 2) = 0 \] \[ -x - 4 + y - 2 = 0 \] \[ -x + y - 6 = 0 \] \[ x - y + 6 = 0 \] Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{x - y + 6 = 0} \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C₁): Đường tròn (C₁) có phương trình \(x^2 + y^2 = 4\). Tâm của đường tròn này là \(O(0;0)\) và bán kính là \(R = 2\). 2. Tìm tâm \(I(a; b)\) của đường tròn (C): Tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta: 3x + y + 8 = 0\). Do đó, ta có: \[ 3a + b + 8 = 0 \quad \text{(1)} \] 3. Tiếp xúc với đường thẳng \(d: x - y - 4 = 0\): Khoảng cách từ tâm \(I(a; b)\) đến đường thẳng \(d\) bằng bán kính của đường tròn (C). Ta tính khoảng cách từ \(I(a; b)\) đến \(d\): \[ d(I, d) = \frac{|a - b - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a - b - 4|}{\sqrt{2}} \] Bán kính của đường tròn (C) là \(r\), do đó: \[ r = \frac{|a - b - 4|}{\sqrt{2}} \quad \text{(2)} \] 4. Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng \(d\): Vì AB vuông góc với \(d\), nên AB song song với đường thẳng có phương trình \(x + y = k\) (vì \(d\) có dạng \(x - y = 4\)). Đường thẳng này đi qua tâm \(O(0;0)\) của đường tròn (C₁), do đó AB đi qua tâm \(O\). 5. Tìm giao điểm của đường tròn (C₁) và đường thẳng AB: Vì AB đi qua tâm \(O\) và vuông góc với \(d\), nên AB có phương trình \(x + y = 0\). Giao điểm của đường tròn (C₁) và đường thẳng \(x + y = 0\) là: \[ x^2 + y^2 = 4 \quad \text{và} \quad x + y = 0 \] Thay \(y = -x\) vào phương trình đường tròn: \[ x^2 + (-x)^2 = 4 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \] Do đó, giao điểm là \(A(\sqrt{2}; -\sqrt{2})\) và \(B(-\sqrt{2}; \sqrt{2})\). 6. Tìm bán kính của đường tròn (C): Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng \(d\), ta có: \[ r = \frac{|a - b - 4|}{\sqrt{2}} \] Vì tâm \(I(a; b)\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\), ta có: \[ 3a + b + 8 = 0 \implies b = -3a - 8 \] Thay vào phương trình (2): \[ r = \frac{|a - (-3a - 8) - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|a + 3a + 8 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{4|a + 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}|a + 1| \] Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng \(d\), ta có: \[ r = 2 \] Do đó: \[ 2\sqrt{2}|a + 1| = 2 \implies |a + 1| = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ a + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{hoặc} \quad a + 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \quad \text{hoặc} \quad a = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \] 7. Tìm \(b\) tương ứng: Nếu \(a = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1\), thì: \[ b = -3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) - 8 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 3 - 8 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - 5 \] Nếu \(a = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\), thì: \[ b = -3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) - 8 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 3 - 8 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 5 \] 8. Tính \(a + b\): Nếu \(a = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1\) và \(b = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - 5\), thì: \[ a + b = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) + \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2} - 5\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 - 5 = -\sqrt{2} - 6 \] Nếu \(a = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\) và \(b = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 5\), thì: \[ a + b = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - 5\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 - 5 = \sqrt{2} - 6 \] Vậy \(a + b = -\sqrt{2} - 6\) hoặc \(a + b = \sqrt{2} - 6\). Đáp số: \(a + b = -\sqrt{2} - 6\) hoặc \(a + b = \sqrt{2} - 6\).