🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂

Câu 2: Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x,y) = \log_4(x+y) + \log_4(x-y)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + y > 0 \\ x - y > 0 \end{array} \right. \] Đây là điều kiện đúng vì để các biểu thức logarit có nghĩa, các đối số của chúng phải lớn hơn 0. Khẳng định b) Với cặp số x, y thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$, ta có: \[ f(x,y) = \log_4(x+y) + \log_4(x-y) \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ f(x,y) = \log_4((x+y)(x-y)) = \log_4(x^2 - y^2) \] Như vậy, $f(x,y) = \log_4(x^2 - y^2)$ chứ không phải $x^2 - y^2$. Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định c) Cặp số $\left\{ \begin{array}{l} x = 8 \\ y = 16 \end{array} \right.$ Ta kiểm tra điều kiện xác định: \[ x + y = 8 + 16 = 24 > 0 \\ x - y = 8 - 16 = -8 < 0 \] Do đó, cặp số này không thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số $f(x,y)$. Vì vậy, khẳng định này sai. Khẳng định d) Với $P = 2x - y$, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ khi $f(x,y) \geq 1$. Từ $(^)$, ta có: \[ \log_4(x^2 - y^2) \geq 1 \] Đổi về dạng mũ: \[ x^2 - y^2 \geq 4^1 = 4 \] Bây giờ, ta cần tối thiểu hóa $P = 2x - y$ dưới điều kiện $x^2 - y^2 \geq 4$ và $x + y > 0$, $x - y > 0$. Giả sử $x = t$ và $y = k$, ta có: \[ t^2 - k^2 \geq 4 \] \[ t + k > 0 \] \[ t - k > 0 \] Để tối thiểu hóa $P = 2t - k$, ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc trực tiếp thử các giá trị thoả mãn điều kiện. Ta thấy rằng khi $t = \sqrt{3}$ và $k = 1$, ta có: \[ (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \quad (\text{không thoả mãn}) \] Khi $t = 2$ và $k = \sqrt{3}$, ta có: \[ 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \quad (\text{không thoả mãn}) \] Khi $t = 2$ và $k = 1$, ta có: \[ 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \quad (\text{thoả mãn}) \] Vậy $P = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Do đó, khẳng định này sai vì $P_{min} = 3$ chứ không phải $2\sqrt{3}$. Kết luận - Khẳng định a) Đúng - Khẳng định b) Sai - Khẳng định c) Sai - Khẳng định d) Sai Câu 3: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho và các tính chất của hình chóp. a) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $\frac{1}{3} SA \cdot S_{đáy}$ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{đáy} \] Trong đó, $S_{đáy}$ là diện tích đáy ABCD, là hình vuông cạnh a, nên: \[ S_{đáy} = a^2 \] Do đó: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot a^2 \] Mệnh đề này đúng vì nó đúng theo công thức tính thể tích của khối chóp. b) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng thể tích của khối chóp S.ACD Cả hai khối chóp S.ABC và S.ACD đều có chung đỉnh S và đáy là tam giác ABC và ACD, mỗi tam giác này có diện tích bằng nhau vì ABCD là hình vuông. Do đó, thể tích của cả hai khối chóp sẽ bằng nhau. Mệnh đề này đúng. c) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $a^3$ Ta đã biết: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot a^2 \] Để xác định $SA$, ta sử dụng thông tin $SC = a\sqrt{3}$. Vì SA vuông góc với đáy, ta có: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 \] \[ (a\sqrt{3})^2 = SA^2 + (a\sqrt{2})^2 \] \[ 3a^2 = SA^2 + 2a^2 \] \[ SA^2 = a^2 \] \[ SA = a \] Do đó: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot a^2 = \frac{a^3}{3} \] Mệnh đề này sai vì thể tích của khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3}{3}$, không phải $a^3$. d) Thể tích của khối chóp AMNPQ bằng $\frac{a^3}{8}$ Khối chóp AMNPQ có đáy là ngũ giác AMNPQ, trong đó M, N, P, Q là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Ta có thể chia khối chóp S.ABCD thành 8 khối chóp nhỏ hơn bằng cách nối các trung điểm của các cạnh đáy và đỉnh chóp. Mỗi khối chóp nhỏ này sẽ có thể tích bằng $\frac{1}{8}$ thể tích của khối chóp S.ABCD. Do đó: \[ V_{AMNPQ} = \frac{1}{8} \cdot V_{S.ABCD} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{24} \] Mệnh đề này sai vì thể tích của khối chóp AMNPQ là $\frac{a^3}{24}$, không phải $\frac{a^3}{8}$. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Sai Câu 4: 1) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng trên khoảng $(-1;1)$, hàm số $y = f(x)$ có giá trị tăng dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Kết luận: Đúng. 2) Hàm số có $f'(x) > 0~\forall x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, hàm số $y = f(x)$ có giá trị giảm dần từ trái sang phải. Điều này có nghĩa là đạo hàm $f'(x)$ nhỏ hơn 0 trên các khoảng này. - Kết luận: Sai. 3) Hàm số $g(x) = f(x) + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$: - Ta biết rằng nếu hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên một khoảng thì hàm số $y = f(x) + c$ (với $c$ là hằng số) cũng đồng biến trên khoảng đó. - Từ đồ thị, ta thấy rằng trên khoảng $(0; 2)$, hàm số $y = f(x)$ đồng biến. Do đó, hàm số $g(x) = f(x) + 1$ cũng đồng biến trên khoảng này. - Kết luận: Sai. 4) Hàm số $y = f(|x|)$ đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$: - Xét hàm số $y = f(|x|)$: - Trên khoảng $(-1; 0)$, ta có $|x| = -x$. Do đó, $y = f(|x|) = f(-x)$. Vì $f(x)$ đồng biến trên $(0; 1)$ nên $f(-x)$ nghịch biến trên $(-1; 0)$. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, ta có $|x| = x$. Do đó, $y = f(|x|) = f(x)$. Vì $f(x)$ đồng biến trên $(1; +\infty)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(1; +\infty)$. - Kết luận: Sai. Đáp án: 1) Đúng, 2) Sai, 3) Sai, 4) Sai.