giúp e với ạ

Câu 1. Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0) \) đến đường thẳng \( \Delta: ax + by + c = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức này được viết dưới dạng: \[ d(M; \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm \( M \), - \( ax + by + c = 0 \) là phương trình của đường thẳng \( \Delta \). Ta sẽ kiểm tra từng đáp án đã cho: A. \( d(M; \Delta) = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) Đáp án này không đúng vì thiếu dấu giá trị tuyệt đối ở tử số. B. \( d(M; \Delta) = \frac{|ax_2 + by_6 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \) Đáp án này không đúng vì: - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (x_0, y_0) \), không phải \( (x_2, y_6) \). - Biểu thức ở mẫu số là \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \), không phải \( \sqrt{a^2 + b^2} \). C. \( d(M; \Delta) = \frac{ax_2 + by_2 + c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \) Đáp án này không đúng vì: - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (x_0, y_0) \), không phải \( (x_2, y_2) \). - Biểu thức ở mẫu số là \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \), không phải \( \sqrt{a^2 + b^2} \). D. \( d(M; \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) Đáp án này đúng vì: - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (x_0, y_0) \). - Biểu thức ở mẫu số là \( \sqrt{a^2 + b^2} \). - Có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~d(M; \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}} \] Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy, ta có: - Vectơ đơn vị theo phương Ox là $\overrightarrow{i} = (1, 0)$. - Vectơ đơn vị theo phương Oy là $\overrightarrow{j} = (0, 1)$. Ta được vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{T} + 2\overrightarrow{J}$. Để tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$, ta cần biết tọa độ của $\overrightarrow{T}$ và $\overrightarrow{J}$. Giả sử $\overrightarrow{T} = (x_1, y_1)$ và $\overrightarrow{J} = (x_2, y_2)$, thì: \[ \overrightarrow{u} = (x_1, y_1) + 2(x_2, y_2) = (x_1 + 2x_2, y_1 + 2y_2) \] Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp tọa độ của $\overrightarrow{T}$ và $\overrightarrow{J}$. Do đó, ta giả sử rằng $\overrightarrow{T}$ và $\overrightarrow{J}$ là các vectơ đơn vị theo phương Ox và Oy tương ứng, tức là: \[ \overrightarrow{T} = \overrightarrow{i} = (1, 0) \] \[ \overrightarrow{J} = \overrightarrow{j} = (0, 1) \] Do đó: \[ \overrightarrow{u} = (1, 0) + 2(0, 1) = (1, 0) + (0, 2) = (1, 2) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là $(1, 2)$. Đáp án đúng là: $D.~(1;2)$. Câu 3. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(-1; 2) \) và nhận \( n = (3; -6) \) làm vectơ pháp tuyến, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \( n = (a; b) \) là: \[ ax + by + c = 0 \] Trong đó, \( a = 3 \) và \( b = -6 \). 2. Thay tọa độ điểm \( A(-1; 2) \) vào phương trình: Ta có: \[ 3(-1) + (-6)(2) + c = 0 \] Tính toán: \[ -3 - 12 + c = 0 \] \[ -15 + c = 0 \] \[ c = 15 \] 3. Viết phương trình đường thẳng: Thay \( a = 3 \), \( b = -6 \), và \( c = 15 \) vào phương trình tổng quát: \[ 3x - 6y + 15 = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hóa: \[ x - 2y + 5 = 0 \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(-1; 2) \) và nhận \( n = (3; -6) \) làm vectơ pháp tuyến là: \[ x - 2y + 5 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x - 2y + 5 = 0 \] Câu 4. Để tìm tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của \(2\overrightarrow{a}\): \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (2, -4) = (2 \cdot 2, 2 \cdot (-4)) = (4, -8) \] 2. Tìm tọa độ của \(-\overrightarrow{b}\): \[ -\overrightarrow{b} = -( -5, 3 ) = ( -(-5), -3 ) = (5, -3) \] 3. Tính tọa độ của \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\): \[ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (4, -8) + (5, -3) = (4 + 5, -8 + (-3)) = (9, -11) \] Vậy tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) là \((9, -11)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(9; -11) \] Câu 5. Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{4^2} = -1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$, không phải dạng chính tắc của đường hypebol. B. $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, đúng với dạng chính tắc của đường hypebol. C. $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{5^2} = -1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$, không phải dạng chính tắc của đường hypebol. D. $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, đây là phương trình chính tắc của elip, không phải của đường hypebol. Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là phương trình B. $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1$. Câu 6. Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$, ta cần kiểm tra các điều kiện về góc giữa chúng. 1. Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $(d_1): 2x + y + 15 = 0$ có thể viết lại dưới dạng $y = -2x - 15$. Vậy hệ số góc của $(d_1)$ là $m_1 = -2$. - Đường thẳng $(d_2): x - 2y - 3 = 0$ có thể viết lại dưới dạng $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$. Vậy hệ số góc của $(d_2)$ là $m_2 = \frac{1}{2}$. 2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: - Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng -1, tức là $m_1 \cdot m_2 = -1$. - Ta có $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -1$. Do đó, hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ vuông góc với nhau. Đáp án: A. $(d_1)$ và $(d_2)$ vuông góc với nhau. Câu 7. Phương trình đường tròn có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] Trong đó, \( D, E, F \) là các hằng số. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho để xác định phương trình nào có dạng tổng quát của phương trình đường tròn. A. \( x^2 + y^2 - 2x = 0 \) - Phương trình này có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = -2 \), \( E = 0 \), \( F = 0 \). - Đây là phương trình đường tròn. B. \( x^2 + y^2 + 2xy - 1 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( x^2 + y^2 + 2xy - 1 = 0 \). - Điều này không đúng vì phương trình đường tròn không có thành phần \( 2xy \). C. \( x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = -2 \), \( E = -4 \), \( F = 9 \). - Đây là phương trình đường tròn. D. \( x^2 - y^2 - 2x + 2y - 1 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( x^2 - y^2 - 2x + 2y - 1 = 0 \). - Điều này không đúng vì phương trình đường tròn không có thành phần \( -y^2 \). Như vậy, các phương trình đúng là: - A. \( x^2 + y^2 - 2x = 0 \) - C. \( x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0 \) Đáp án: A và C. Câu 8. Đường tròn $(C):~(x+1)^2+(y+2)^2=9$ có tâm I là $B.~I(-1;-2).$ Lập luận từng bước: - Phương trình đường tròn có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó tâm của đường tròn là $(a, b)$ và bán kính là $R$. - So sánh phương trình $(x+1)^2+(y+2)^2=9$ với dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, ta thấy: - $(x+1)^2$ tương ứng với $(x-(-1))^2$, suy ra $a = -1$. - $(y+2)^2$ tương ứng với $(y-(-2))^2$, suy ra $b = -2$. - Bán kính $R = 3$ (vì $9 = 3^2$). Do đó, tâm của đường tròn là $I(-1, -2)$. Câu 9. Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta:~2x-3y-1=0$, ta cần tìm vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng này. Phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng $ax + by + c = 0$. Trong đó, $a = 2$, $b = -3$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có dạng $(a, b)$, tức là $(2, -3)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n} = (2, -3)$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{n} = (2, -3). \] Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là (-3, 1) và tọa độ của điểm B là (1, -3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-3), -3 - 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1 + 3, -3 - 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (4, -4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (4, -4). Đáp án đúng là: B. (4, -4). Câu 11. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = -1 + 3t \end{array} \right. \] Ta nhận thấy rằng phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] trong đó \((x_0, y_0)\) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và \((a, b)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng. So sánh phương trình tham số của đường thẳng \(d\) với phương trình chuẩn trên, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = -1 + 3t \end{array} \right. \] Từ đây, ta nhận thấy rằng: - \(x_0 = 1\) - \(y_0 = -1\) - \(a = -2\) - \(b = 3\) Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((-2, 3)\). Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (-2, 3)\).