..............

Câu 12. Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trước tiên, ta cần tính xác suất của biến cố $\overline{B}$: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,01 + 0,09 \cdot 0,99 \] \[ P(A) = 0,007 + 0,0891 \] \[ P(A) = 0,0961 \] Vậy, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,0961 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{B. } 0,0961 \] Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Vector $\vec{u} = (1; 2; -3)$ là một vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $d_1$. Đường thẳng $d_1$ được cho dưới dạng: \[ d_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{-3} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của $d_1$ là $(1; 2; -3)$. Do đó, $\vec{u} = (1; 2; -3)$ đúng là một VTCP của $d_1$. b) Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(0; 3; 0)$. Để kiểm tra xem đường thẳng $d_1$ có đi qua điểm $A(0; 3; 0)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình của $d_1$. Phương trình tham số của $d_1$ là: \[ x = t, \quad y = 2t + 3, \quad z = -3t + 2 \] Thay $x = 0$, $y = 3$, $z = 0$ vào phương trình trên: \[ 0 = t \] \[ 3 = 2t + 3 \] \[ 0 = -3t + 2 \] Từ $0 = t$, ta có $t = 0$. Thay $t = 0$ vào hai phương trình còn lại: \[ 3 = 2(0) + 3 \Rightarrow 3 = 3 \] (đúng) \[ 0 = -3(0) + 2 \Rightarrow 0 = 2 \] (sai) Do đó, điểm $A(0; 3; 0)$ không nằm trên đường thẳng $d_1$. c) Đường thẳng $d_1$ song song với đường thẳng $d_2$. Đường thẳng $d_2$ được cho dưới dạng: \[ d_2: \left\{ \begin{array}{l} x = 2t \\ y = -3 - t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $d_2$ là $(2; -1; 0)$. Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng là bội của nhau. Ta kiểm tra: \[ (1; 2; -3) \neq k(2; -1; 0) \text{ với mọi } k \] Do đó, $d_1$ không song song với $d_2$. d) Đường thẳng $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_2$. Hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng của vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Ta tính: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (1; 2; -3) \cdot (2; -1; 0) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0 \] Do đó, $d_1$ vuông góc với $d_2$. Kết luận: - Đáp án đúng là: d) $d_1$ vuông góc với $d_2$. Câu 2. a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công: Xác suất thí nghiệm thứ nhất thành công là \( P(A) = 0,6 \). Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công, xác suất thí nghiệm thứ hai thành công là \( P(B|A) = 0,7 \). Do đó, xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = 0,6 \times 0,7 = 0,42 \] b) Xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai: Xác suất thí nghiệm thứ nhất không thành công là \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4 \). Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công, xác suất thí nghiệm thứ hai thành công là \( P(B|\bar{A}) = 0,5 \). Do đó, xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là: \[ P(B) = P(A) \times P(B|A) + P(\bar{A}) \times P(B|\bar{A}) = 0,6 \times 0,7 + 0,4 \times 0,5 = 0,42 + 0,2 = 0,62 \] c) Nếu thí nghiệm thứ hai thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ nhất: Theo định lý Bayes, xác suất thí nghiệm thứ nhất thành công khi thí nghiệm thứ hai thành công là: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,42}{0,62} \approx 0,6774 \] d) Xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công: Xác suất thí nghiệm thứ nhất không thành công là \( P(\bar{A}) = 0,4 \). Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công, xác suất thí nghiệm thứ hai không thành công là \( P(\bar{B}|\bar{A}) = 1 - P(B|\bar{A}) = 1 - 0,5 = 0,5 \). Do đó, xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công là: \[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0,4 \times 0,5 = 0,2 \] Đáp án: a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công là 0,42. b) Xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,62. c) Nếu thí nghiệm thứ hai thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ nhất là khoảng 0,6774. d) Xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công là 0,2. Câu 1 Để tìm các hằng số \(a\), \(b\) và \(c\) trong nguyên hàm \(F(x) = ae^x + b\cos x + c\) của hàm số \(f(x) = e^x + \sin x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(ae^x + b\cos x + c) \] Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản: \[ F'(x) = ae^x - b\sin x \] 2. So sánh đạo hàm \(F'(x)\) với \(f(x)\): Ta biết rằng \(F'(x) = f(x)\). Do đó: \[ ae^x - b\sin x = e^x + \sin x \] 3. Xác định các hằng số \(a\) và \(b\): Để hai vế bằng nhau, ta so sánh hệ số tương ứng của các thành phần: - Hệ số của \(e^x\): \[ a = 1 \] - Hệ số của \(\sin x\): \[ -b = 1 \implies b = -1 \] 4. Xác định hằng số \(c\): Hằng số \(c\) không ảnh hưởng đến đạo hàm, vì đạo hàm của một hằng số là 0. Do đó, \(c\) có thể là bất kỳ hằng số nào. Kết luận: \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c \text{ là bất kỳ hằng số nào} \] Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = e^x + \sin x\) là: \[ F(x) = e^x - \cos x + c \]