giải bài tập

Để biểu thức \( M = \frac{xy + x + 1}{xy + x + 2} \) có giá trị là số nguyên, ta cần tìm các cặp số nguyên \((x; y)\) sao cho \( xy + x + 1 \) chia hết cho \( xy + x + 2 \). Ta xét hiệu giữa tử số và mẫu số: \[ xy + x + 1 - (xy + x + 2) = -1 \] Như vậy, để \( M \) là số nguyên, \( xy + x + 2 \) phải là ước của \(-1\). Các ước của \(-1\) là \(-1\) và \(1\). Xét các trường hợp: 1. Trường hợp 1: \( xy + x + 2 = 1 \) \[ xy + x + 2 = 1 \] \[ xy + x = -1 \] \[ x(y + 1) = -1 \] Ta có các trường hợp: - \( x = 1 \) và \( y + 1 = -1 \) suy ra \( y = -2 \) - \( x = -1 \) và \( y + 1 = 1 \) suy ra \( y = 0 \) Vậy các cặp số nguyên \((x; y)\) là \((1; -2)\) và \((-1; 0)\). 2. Trường hợp 2: \( xy + x + 2 = -1 \) \[ xy + x + 2 = -1 \] \[ xy + x = -3 \] \[ x(y + 1) = -3 \] Ta có các trường hợp: - \( x = 1 \) và \( y + 1 = -3 \) suy ra \( y = -4 \) - \( x = -1 \) và \( y + 1 = 3 \) suy ra \( y = 2 \) - \( x = 3 \) và \( y + 1 = -1 \) suy ra \( y = -2 \) - \( x = -3 \) và \( y + 1 = 1 \) suy ra \( y = 0 \) Vậy các cặp số nguyên \((x; y)\) là \((1; -4)\), \((-1; 2)\), \((3; -2)\), và \((-3; 0)\). Tóm lại, các cặp số nguyên \((x; y)\) để biểu thức \( M = \frac{xy + x + 1}{xy + x + 2} \) có giá trị là số nguyên là: \[ (1; -2), (-1; 0), (1; -4), (-1; 2), (3; -2), (-3; 0) \]