gđỵhugfhjoiủv

Bài 15: a) Tính khoảng cách từ điểm $M(-1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x-4y-3=0$. Khoảng cách từ điểm $M(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ được tính theo công thức: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ d = \frac{|3(-1) - 4(1) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-3 - 4 - 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2 \] Vậy khoảng cách từ điểm $M(-1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x-4y-3=0$ là 2. b) Tính khoảng cách từ điểm $M(2;0)$ đến đường thẳng $\Delta: \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \end{array}\right.$ Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng $\Delta$ dưới dạng đại số: \[ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} \] \[ 4(x - 1) = 3(y - 2) \] \[ 4x - 4 = 3y - 6 \] \[ 4x - 3y + 2 = 0 \] Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $M(2;0)$ đến đường thẳng $\Delta: 4x - 3y + 2 = 0$: \[ d = \frac{|4(2) - 3(0) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|8 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2 \] Vậy khoảng cách từ điểm $M(2;0)$ đến đường thẳng $\Delta: \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \end{array}\right.$ là 2. Bài 16: Để tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) dựa trên hệ số góc của chúng. Gọi góc giữa hai đường thẳng là \(\theta\), ta có: \[ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] Trong đó: - \(m_1\) là hệ số góc của đường thẳng \(d_1\), - \(m_2\) là hệ số góc của đường thẳng \(d_2\). a) \(d_1: x + 2y - 7 = 0\) và \(d_2: 2x - 4y + 9 = 0\) Tìm hệ số góc của \(d_1\): \[ x + 2y - 7 = 0 \] \[ 2y = -x + 7 \] \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \] Hệ số góc của \(d_1\) là \(m_1 = -\frac{1}{2}\). Tìm hệ số góc của \(d_2\): \[ 2x - 4y + 9 = 0 \] \[ -4y = -2x - 9 \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{4} \] Hệ số góc của \(d_2\) là \(m_2 = \frac{1}{2}\). Tính góc \(\theta\): \[ \tan \theta = \left| \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{1 + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-1}{1 - \frac{1}{4}} \right| = \left| \frac{-1}{\frac{3}{4}} \right| = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \] Vậy góc \(\theta\) là: \[ \theta = \arctan \left( \frac{4}{3} \right) \] b) \(d_1: 7x - 3y + 6 = 0\) và \(d_2: 2x - 5y - 4 = 0\) Tìm hệ số góc của \(d_1\): \[ 7x - 3y + 6 = 0 \] \[ -3y = -7x - 6 \] \[ y = \frac{7}{3}x + 2 \] Hệ số góc của \(d_1\) là \(m_1 = \frac{7}{3}\). Tìm hệ số góc của \(d_2\): \[ 2x - 5y - 4 = 0 \] \[ -5y = -2x + 4 \] \[ y = \frac{2}{5}x - \frac{4}{5} \] Hệ số góc của \(d_2\) là \(m_2 = \frac{2}{5}\). Tính góc \(\theta\): \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{7}{3} - \frac{2}{5}}{1 + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5}} \right| = \left| \frac{\frac{35}{15} - \frac{6}{15}}{1 + \frac{14}{15}} \right| = \left| \frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} \right| = 1 \] Vậy góc \(\theta\) là: \[ \theta = \arctan(1) = 45^\circ \] c) \(d_1: 6x - 5y + 15 = 0\) và \(d_2: \left\{ \begin{array}{l} x = 10 - 6t \\ y = 1 + 5t \end{array} \right.\) Tìm hệ số góc của \(d_1\): \[ 6x - 5y + 15 = 0 \] \[ -5y = -6x - 15 \] \[ y = \frac{6}{5}x + 3 \] Hệ số góc của \(d_1\) là \(m_1 = \frac{6}{5}\). Tìm hệ số góc của \(d_2\): Phương trình tham số của \(d_2\) là: \[ x = 10 - 6t \] \[ y = 1 + 5t \] Hệ số góc của \(d_2\) là: \[ m_2 = \frac{5}{-6} = -\frac{5}{6} \] Tính góc \(\theta\): \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{6}{5} - (-\frac{5}{6})}{1 + \frac{6}{5} \cdot (-\frac{5}{6})} \right| = \left| \frac{\frac{6}{5} + \frac{5}{6}}{1 - 1} \right| = \left| \frac{\frac{36}{30} + \frac{25}{30}}{0} \right| = \left| \frac{\frac{61}{30}}{0} \right| \] Do mẫu số bằng 0, nên góc giữa hai đường thẳng này là 90°. Vậy góc \(\theta\) là: \[ \theta = 90^\circ \]