giải bài tập đúng sai

Câu 4: a) Một pháp vec-tơ của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n=(2;4;-4)$ Phương trình mặt phẳng (P) là $x + 2y - 2z + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (1, 2, -2)$. Do đó, $\overrightarrow{n} = (2, 4, -4)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng $d^\prime:\frac x3=\frac{y+1}2=\frac z{-4}$ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{d} = (2, -1, 1)$. Đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{d'} = (3, 2, -4)$. Để kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc nhau hay không, ta tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-4) = 6 - 2 - 4 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai đường thẳng d và $d'$ vuông góc với nhau. c) Góc giữa $d$ và (P) gần bằng $15^047^\prime35,41^{\prime\prime}$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{d}| |\overrightarrow{n}|} \] Trong đó: - $\overrightarrow{d} = (2, -1, 1)$ - $\overrightarrow{n} = (1, 2, -2)$ Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 - 2 = -2 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{d}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Do đó: \[ \sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9} \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6}}{9} \right) \approx 15^\circ 47' 35,41'' \] d) Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với (P) là $x+y+z+1=0$ Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Vì vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ song song với vectơ chỉ phương của đường thẳng d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{d} = (2, -1, 1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1, 2, -2)$. Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n_Q} = \overrightarrow{d} \times \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) - (1)(2)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (1)(1)) + \mathbf{k}((2)(2) - (-1)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(-4 - 1) + \mathbf{k}(4 + 1) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(5) = (0, 5, 5) \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n_Q} = (0, 5, 5)$. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $(1, -1, 0)$ trên đường thẳng d, nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 0(x - 1) + 5(y + 1) + 5(z - 0) = 0 \implies 5y + 5 + 5z = 0 \implies y + z + 1 = 0 \] Như vậy, phương trình mặt phẳng (Q) là $x + y + z + 1 = 0$. Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2^x \). 2. Áp dụng điều kiện ban đầu \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \) để xác định hằng số trong nguyên hàm. 3. Kiểm tra rằng \( F'(x) = f(x) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = 2^x \). Nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ F(x) = \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] với \( C \) là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng điều kiện ban đầu \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{2^0}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} + C \] Theo điều kiện ban đầu, ta có: \[ \frac{1}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} \] Từ đó suy ra: \[ C = 0 \] Vậy nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \] Bước 3: Kiểm tra rằng \( F'(x) = f(x) \). Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{2^x}{\ln 2} \right)' = \frac{(2^x)'}{\ln 2} = \frac{2^x \cdot \ln 2}{\ln 2} = 2^x \] Như vậy, ta đã kiểm tra được rằng \( F'(x) = f(x) \). Kết luận: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \] và \( F'(x) = 2^x \). Đáp số: \( F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \).