giải đúng nha app

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u=(8;5;0).$ Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 200 - 800t \\ y = 300 - 500t \\ z = 10 \end{array} \right. \] Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (-800, -500, 0)$. b) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng mà máy bay hiển thị trên màn hình ra đa là $x^2 + y^2 + z^2 = 90000.$ Mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ $(0, 0, 0)$ và bán kính $R = 300$ km. Phương trình mặt cầu là: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 300^2 = 90000 \] c) Tại thời điểm mà tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động cho máy bay thì máy bay hiển thị trên màn hình ra đa. Tại thời điểm $t = 0$, tọa độ của máy bay là: \[ (x, y, z) = (200, 300, 10) \] Ta kiểm tra khoảng cách từ điểm này đến gốc tọa độ: \[ \sqrt{200^2 + 300^2 + 10^2} = \sqrt{40000 + 90000 + 100} = \sqrt{130100} \approx 360.7 \text{ km} \] Vì khoảng cách này lớn hơn 300 km, nên máy bay không hiển thị trên màn hình ra đa ngay khi bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động. d) Thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa kể từ khi tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động nhỏ hơn 30 phút. Để máy bay hiển thị trên màn hình ra đa, khoảng cách từ máy bay đến gốc tọa độ phải nhỏ hơn hoặc bằng 300 km. Ta cần tìm thời điểm $t$ sao cho: \[ \sqrt{(200 - 800t)^2 + (300 - 500t)^2 + 10^2} \leq 300 \] Bình phương cả hai vế: \[ (200 - 800t)^2 + (300 - 500t)^2 + 10^2 \leq 300^2 \] \[ (200 - 800t)^2 + (300 - 500t)^2 + 100 \leq 90000 \] Phát triển các bình phương: \[ 40000 - 320000t + 640000t^2 + 90000 - 300000t + 250000t^2 + 100 \leq 90000 \] \[ 890000t^2 - 620000t + 130100 \leq 90000 \] \[ 890000t^2 - 620000t + 40100 \leq 0 \] Chia cả phương trình cho 100: \[ 8900t^2 - 6200t + 401 \leq 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-6200) \pm \sqrt{(-6200)^2 - 4 \cdot 8900 \cdot 401}}{2 \cdot 8900} \] \[ t = \frac{6200 \pm \sqrt{38440000 - 14276000}}{17800} \] \[ t = \frac{6200 \pm \sqrt{24164000}}{17800} \] \[ t = \frac{6200 \pm 4916}{17800} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{6200 + 4916}{17800} \approx 0.63 \text{ giờ} \] \[ t_2 = \frac{6200 - 4916}{17800} \approx 0.07 \text{ giờ} \] Thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa là khoảng giữa hai nghiệm này: \[ 0.07 \text{ giờ} < t < 0.63 \text{ giờ} \] Do đó, thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa nhỏ hơn 30 phút (0.5 giờ). Kết luận: - a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (-800, -500, 0)$. - b) Phương trình mặt cầu là $x^2 + y^2 + z^2 = 90000$. - c) Máy bay không hiển thị trên màn hình ra đa ngay khi bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động. - d) Thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa nhỏ hơn 30 phút. Câu 3. a) Quãng đường chất điểm chuyển động trong 2(s) đầu tiên là: $s(2) - s(0) = (2^3 - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + 2) - (0^3 - 3 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 + 2) = (8 - 12 + 16 + 2) - 2 = 14$ b) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=3(s)$ là: $v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t + 8$ Do đó, $v(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 3 \cdot 9 - 18 + 8 = 27 - 18 + 8 = 17$ c) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà $s(t)=8(m)$ là: $s(t) = t^3 - 3t^2 + 8t + 2 = 8$ $t^3 - 3t^2 + 8t - 6 = 0$ Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm $t = 1$. Gia tốc tức thời là: $a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$ Do đó, $a(1) = 6 \cdot 1 - 6 = 0$ d) Tại thời điểm $t=2(s)$ vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất: Ta đã biết $v(t) = 3t^2 - 6t + 8$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $v(t)$, ta tính đạo hàm của $v(t)$: $v'(t) = 6t - 6$ Đặt $v'(t) = 0$, ta có: $6t - 6 = 0$ $t = 1$ Tại $t = 1$, ta có: $v(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 3 - 6 + 8 = 5$ Tại $t = 2$, ta có: $v(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 3 \cdot 4 - 12 + 8 = 12 - 12 + 8 = 8$ Như vậy, tại $t = 1$, vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất là 5 m/s. Đáp số: a) 14 m b) 17 m/s c) 0 m/s² d) 5 m/s Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). 2. Áp dụng điều kiện cực trị để tìm các hằng số \( b \) và \( d \). 3. Kiểm tra các lựa chọn đã cho. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = 2x^3 + bx^2 - 6x + d \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 + 2bx - 6 \] Bước 2: Áp dụng điều kiện cực trị tại \( x = 1 \). Theo đề bài, hàm số đạt cực trị bằng 4 tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là: \[ f(1) = 4 \] \[ f'(1) = 0 \] Tính \( f(1) \): \[ f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 - 6(1) + d = 2 + b - 6 + d = b + d - 4 \] Vì \( f(1) = 4 \), nên: \[ b + d - 4 = 4 \] \[ b + d = 8 \] Tính \( f'(1) \): \[ f'(1) = 6(1)^2 + 2b(1) - 6 = 6 + 2b - 6 = 2b \] Vì \( f'(1) = 0 \), nên: \[ 2b = 0 \] \[ b = 0 \] Thay \( b = 0 \) vào \( b + d = 8 \): \[ 0 + d = 8 \] \[ d = 8 \] Bây giờ chúng ta đã tìm được \( b = 0 \) và \( d = 8 \). Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn đã cho. a) Giá trị của \( b + d \) bằng 8. Đúng, vì \( b + d = 0 + 8 = 8 \). b) Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \). Để kiểm tra điều này, chúng ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở hai bên \( x = 1 \). \[ f'(x) = 6x^2 - 6 \] Tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 0 \] Tại \( x < 1 \) (ví dụ \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 \] (dấu âm) Tại \( x > 1 \) (ví dụ \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 6(2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 \] (dấu dương) Do đó, \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 1 \), tức là \( x = 1 \) là điểm cực tiểu, không phải cực đại. c) \( x = -1 \) là một điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \). Tính \( f'(-1) \): \[ f'(-1) = 6(-1)^2 - 6 = 6 - 6 = 0 \] Điều này cho thấy \( x = -1 \) có thể là điểm cực trị. Để xác định loại cực trị, chúng ta cần kiểm tra dấu của \( f'(x) \) ở hai bên \( x = -1 \). Tại \( x < -1 \) (ví dụ \( x = -2 \)): \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 \] (dấu dương) Tại \( x > -1 \) (ví dụ \( x = 0 \)): \[ f'(0) = -6 \] (dấu âm) Do đó, \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = -1 \), tức là \( x = -1 \) là điểm cực đại. d) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 12. Chúng ta đã xác định rằng \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 2(1)^3 + 0(1)^2 - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là 4, không phải 12. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Giá trị của \( b + d \) bằng 8. - Đáp án sai là: b) Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \). - Đáp án đúng là: c) \( x = -1 \) là một điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \). - Đáp án sai là: d) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 12. Câu 1. Để tìm diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm O là gốc tọa độ (0, 0, 0). - Điểm A có tọa độ (2, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (0, 1, 0). - Điểm C có tọa độ (0, 0, 1). - Điểm M có tọa độ (1, 1, 1). 2. Viết phương trình mặt phẳng ABC: Mặt phẳng ABC đi qua ba điểm A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), và C(0, 0, 1). Ta có thể viết phương trình mặt phẳng dưới dạng: \[ \frac{x}{2} + y + z = 1 \] 3. Tìm diện tích tam giác ABC: Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \] Trong đó: - $\vec{AB} = (-2, 1, 0)$ - $\vec{AC} = (-2, 0, 1)$ Tích vector $\vec{AB} \times \vec{AC}$ là: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot -2) + \mathbf{k}(-2 \cdot 0 - 1 \cdot -2) \] \[ = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2) = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \] Độ dài của vectơ này là: \[ \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \text{ m}^2 \] 4. Kiểm tra điều kiện tối ưu: Để đảm bảo rằng diện tích này là nhỏ nhất, ta cần kiểm tra các điều kiện liên quan đến vị trí của điểm M và các điểm khác. Tuy nhiên, do các điểm đã được xác định cố định và phương trình mặt phẳng đã được viết đúng, diện tích này là tối ưu. Vậy diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là: \[ \boxed{1.5 \text{ m}^2} \] Câu 2. Để tìm số đo góc nhị diện [D, SC, A], ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng: - Gọi \( H \) là hình chiếu của \( S \) lên \( (ABCD) \). Vì \( SA \perp (ABCD) \), nên \( H = A \). - Mặt phẳng \( (SDC) \) cắt \( (ABCD) \) theo đường thẳng \( DC \). 2. Tìm góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng: - Gọi \( M \) là hình chiếu của \( S \) lên \( DC \). Ta có \( SM \perp DC \) vì \( S \) nằm trên đường thẳng \( SA \) vuông góc với \( (ABCD) \). - Gọi \( N \) là hình chiếu của \( D \) lên \( SC \). Ta có \( DN \perp SC \). 3. Tính khoảng cách từ \( S \) đến \( DC \): - \( SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{9a^2 + 4a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \). - \( DC = 2a \). 4. Tính khoảng cách từ \( D \) đến \( SC \): - \( SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a\sqrt{2})^2} = \sqrt{9a^2 + 8a^2} = \sqrt{17a^2} = a\sqrt{17} \). 5. Tính góc giữa \( SM \) và \( DN \): - \( \cos(\theta) = \frac{SM \cdot DN}{SD \cdot SC} \). 6. Tính góc giữa hai đường thẳng \( SM \) và \( DN \): - \( \sin(\theta) = \frac{DC}{SD} = \frac{2a}{a\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \). 7. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{2}{\sqrt{13}}}{\frac{3}{\sqrt{13}}} = \frac{2}{3} \). 8. Tính góc nhị diện: - \( \alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33.69^\circ \). Vậy số đo góc nhị diện [D, SC, A] là \( 34^\circ \). Câu 3. Để tính xác suất hai rô bốt gặp nhau, ta cần xác định tổng số cách di chuyển của mỗi rô bốt và số cách mà chúng có thể gặp nhau. 1. Tổng số cách di chuyển của mỗi rô bốt: - Rô bốt từ A đến B: Di chuyển 4 bước sang phải và 4 bước lên trên. - Rô bốt từ B đến A: Di chuyển 4 bước sang trái và 4 bước xuống dưới. Số cách di chuyển của mỗi rô bốt là: \[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = 70 \] 2. Số cách mà hai rô bốt gặp nhau: - Để hai rô bốt gặp nhau, chúng phải di chuyển đến cùng một điểm sau cùng một số bước. - Điểm gặp nhau có thể là bất kỳ điểm nào trên đường chéo từ A đến B (gọi là đường chéo chính). Ta xét các điểm trên đường chéo chính: - Điểm (1,1): 1 cách (A -> (1,1) và B -> (1,1)). - Điểm (2,2): 2 cách (A -> (2,2) và B -> (2,2)). - Điểm (3,3): 3 cách (A -> (3,3) và B -> (3,3)). - Điểm (4,4): 4 cách (A -> (4,4) và B -> (4,4)). Tổng số cách mà hai rô bốt gặp nhau là: \[ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \] 3. Xác suất để hai rô bốt gặp nhau: - Tổng số cách di chuyển của cả hai rô bốt là: \[ 70 \times 70 = 4900 \] - Xác suất để hai rô bốt gặp nhau là: \[ \frac{10}{4900} = \frac{1}{490} \approx 0.00204 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ 0.00204 \approx 0.002 \] Vậy xác suất để hai rô bốt gặp nhau là khoảng 0.002 hoặc 0.2%.