g h h bvucyycvhhvhv

Câu 13 a) Đúng vì véc tơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;-3)$ nên $(-2;1;3)$ cũng là véc tơ chỉ phương của $d_1$. b) Sai vì Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với $d_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ thì $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_2}$ và $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AB}$, trong đó B là điểm thuộc $d_2$. Ta có: $\overrightarrow{u_2}=(1;-1;3)$ $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;1)$ Từ đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}a-b+3c=0\\-2a-2b+c=0\end{array}\right.$ Giải hệ phương trình này, ta nhận được $a=-7c$ và $b=4c$. Chọn $c=1$, ta có $\overrightarrow{n}=(-7;4;1)$. Phương trình mặt phẳng (P) là $-7(x-1)+4(y-2)+(z+1)=0$ hay $-7x+4y+z=0$. Khoảng cách từ gốc O đến (P) là $d(O,(P))=\frac{|0|}{\sqrt{(-7)^2+4^2+1^2}}=0$. c) Đúng vì Góc giữa $d_1$ và $d_2$ là góc giữa hai véc tơ chỉ phương của chúng. Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;-3)$ $\overrightarrow{u_2}=(1;-1;3)$ Từ đó ta có: $\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{2\times 1+(-1)\times (-1)+(-3)\times 3}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}}=\frac{-6}{\sqrt{154}}$ d) Sai vì Để kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau hay không, ta xét xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ sao cho điểm M thuộc $d_1$ và điểm N thuộc $d_2$ trùng nhau hay không. Ta có: M thuộc $d_1$ có tọa độ $(2t-1;-t-2;-3t+4)$ N thuộc $d_2$ có tọa độ $(t-1;-t;3t-2)$ Từ đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}2t-1=t-1\\-t-2=-t\\-3t+4=3t-2\end{array}\right.$ Giải hệ phương trình này, ta nhận thấy rằng không có giá trị nào của $t$ thỏa mãn cả ba phương trình trên. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau. Câu 14 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định các điểm cực trị. 2. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, 3]. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = x^3 - 3x^2 + x + 5 \] Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 3x^2 - 6x + 1 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 6x + 1 = 0 \] Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = 1 \). Ta có: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} \] \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \] \[ x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \] Bước 3: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu Để xác định các điểm cực đại và cực tiểu, ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \), đạo hàm \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \), đạo hàm \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \), đạo hàm \( y' > 0 \) (hàm số tăng). Do đó: - \( x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \) là điểm cực đại. - \( x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, 3] Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút đoạn [0, 3] và tại các điểm cực trị nằm trong đoạn này: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 + 5 = 5 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3 + 5 = 27 - 27 + 3 + 5 = 8 \] - Tại \( x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \): \[ y\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 - 3\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 5 \] - Tại \( x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \): \[ y\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 - 3\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 5 \] So sánh các giá trị trên, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0, 3] là 8, đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, 3] là 5, đạt được khi \( x = 0 \). Vậy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 8, đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 0 \).