giải đề này chính xác nhất giúp e

Câu 1. Để tính $\int^2_1 9f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_1 9f(x) dx = 9 \int^2_1 f(x) dx \] Biết rằng $\int^2_1 f(x) dx = -5$, ta thay vào: \[ 9 \int^2_1 f(x) dx = 9 \times (-5) = -45 \] Vậy $\int^2_1 9f(x) dx = -45$. Đáp án đúng là: C. -45. Câu 2. Để tìm giá trị của \(a\) trong vector chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (a, -7, 8)\) của đường thẳng \(d\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - 7, -1 - 6, 4 + 4) = (-11, -7, 8) \] 2. So sánh vector \(\overrightarrow{AB}\) với vector chỉ phương \(\overrightarrow{u}\): Vì đường thẳng \(d\) song song với đoạn thẳng \(AB\), nên vector chỉ phương của \(d\) phải cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\). Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{AB}\) phải tỉ lệ với nhau. 3. Xác định tỷ lệ: Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} = (-11, -7, 8) \] và \[ \overrightarrow{u} = (a, -7, 8) \] Để hai vector này cùng phương, ta cần: \[ \frac{-11}{a} = \frac{-7}{-7} = \frac{8}{8} \] Điều này dẫn đến: \[ \frac{-11}{a} = 1 \implies a = -11 \] Vậy giá trị của \(a\) là \(-11\). Đáp án đúng là: A. -11 Câu 3. Để tìm vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(M(0; -5; 5)\) và \(N(8; 7; 8)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector \(\overrightarrow{MN}\): Vector \(\overrightarrow{MN}\) được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm \(N\) trừ tọa độ của điểm \(M\): \[ \overrightarrow{MN} = (8 - 0, 7 - (-5), 8 - 5) = (8, 12, 3) \] 2. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: \(\overrightarrow{u} = (6, 2, 11)\) Ta thấy rằng \((8, 12, 3)\) không tỉ lệ với \((6, 2, 11)\). - Đáp án B: \(\overrightarrow{u} = (-126, 70, 56)\) Ta thấy rằng \((8, 12, 3)\) không tỉ lệ với \((-126, 70, 56)\). - Đáp án C: \(\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)\) Ta thấy rằng \((8, 12, 3)\) tỉ lệ với \((-8, -12, -3)\) với tỷ số là \(-1\): \[ (8, 12, 3) = -1 \times (-8, -12, -3) \] Do đó, \(\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\). - Đáp án D: \(\overrightarrow{u} = (-2, -10, 8)\) Ta thấy rằng \((8, 12, 3)\) không tỉ lệ với \((-2, -10, 8)\). Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{C. } \overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)} \] Câu 4. Để tìm giao điểm của mặt phẳng $(\alpha):~12x-20y+15z-60=0$ và trục Oy, ta cần xác định tọa độ của điểm M trên trục Oy. Trên trục Oy, tọa độ của các điểm có dạng $(0, y, 0)$. Do đó, ta thay $x = 0$ và $z = 0$ vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$: \[ 12(0) - 20y + 15(0) - 60 = 0 \] \[ -20y - 60 = 0 \] \[ -20y = 60 \] \[ y = -3 \] Vậy tọa độ của điểm M là $(0, -3, 0)$. Do đó, giá trị của b là -3. Đáp án đúng là: C. -3 Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = x^3$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của $x^n$ là $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, với $n \neq -1$. Trong trường hợp này, $n = 3$. Do đó, nguyên hàm của $x^3$ là: \[ f(x) = \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Vậy phát biểu đúng là: \[ \textcircled{D.}~f(x) = \frac{x^4}{4} + C \] Câu 6. Để tính $\int(-3\sqrt[8]{x} + 3x - 5)dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính $\int -3\sqrt[8]{x} dx$: Ta có $\sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}$. Do đó, \[ \int -3x^{\frac{1}{8}} dx = -3 \int x^{\frac{1}{8}} dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{8} + 1}}{\frac{1}{8} + 1} = -3 \cdot \frac{x^{\frac{9}{8}}}{\frac{9}{8}} = -3 \cdot \frac{8}{9} x^{\frac{9}{8}} = -\frac{24}{9} x^{\frac{9}{8}} = -\frac{8}{3} x^{\frac{9}{8}} \] 2. Tính $\int 3x dx$: \[ \int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2} \] 3. Tính $\int -5 dx$: \[ \int -5 dx = -5x \] Gộp lại, ta có: \[ \int (-3\sqrt[8]{x} + 3x - 5) dx = -\frac{8}{3} x^{\frac{9}{8}} + \frac{3x^2}{2} - 5x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~-\frac{8}{3}\sqrt[8]{x^9} + \frac{3x^2}{2} - 5x + C \] Câu 7. Mặt phẳng $(P):~3x+3y-z-30=0$ có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3, 3, -1)$. Ta thấy rằng trong các lựa chọn đã cho, chỉ có $\overrightarrow{n} = (6, 6, -2)$ là đúng vì nó là bội của $\overrightarrow{n} = (3, 3, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow n=(6;6;-2) \] Câu 8. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 8\cos x + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( 8\cos x \): \[ \int 8\cos x \, dx = 8 \int \cos x \, dx = 8 \sin x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int (8\cos x + x) \, dx = 8 \sin x + \frac{x^2}{2} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân tổng quát. Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 8\cos x + x \) là: \[ 8 \sin x + \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~8\sin x + \frac{x^2}{2} + C \] Câu 9. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn đã cho đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \), ta thay tọa độ của điểm \( O \) vào phương trình của mỗi mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình đó có đúng hay không. A. \( x + y + z = 0 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 0 + 0 + 0 = 0 \] Phương trình này đúng, do đó mặt phẳng \( x + y + z = 0 \) đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). B. \( x + y + z = 2025 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 0 + 0 + 0 = 2025 \] Phương trình này sai, do đó mặt phẳng \( x + y + z = 2025 \) không đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). C. \( x + y + z = 2024 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 0 + 0 + 0 = 2024 \] Phương trình này sai, do đó mặt phẳng \( x + y + z = 2024 \) không đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). D. \( x - y + z - 1 = 0 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 0 - 0 + 0 - 1 = 0 \] Phương trình này sai, do đó mặt phẳng \( x - y + z - 1 = 0 \) không đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). Vậy mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \) là: \[ \boxed{A.~x + y + z = 0} \] Câu 10. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0(4\cos3x+7)dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số: Ta cần tìm nguyên hàm của $4\cos3x + 7$. Nguyên hàm của $4\cos3x$ là: \[ \int 4\cos3x \, dx = 4 \cdot \frac{1}{3} \sin3x = \frac{4}{3} \sin3x \] Nguyên hàm của $7$ là: \[ \int 7 \, dx = 7x \] Vậy nguyên hàm của $4\cos3x + 7$ là: \[ \int (4\cos3x + 7) \, dx = \frac{4}{3} \sin3x + 7x + C \] 2. Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ \left[ \frac{4}{3} \sin3x + 7x \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 \] 3. Tính giá trị tại cận trên và cận dưới: - Tại $x = \frac{\pi}{2}$: \[ \frac{4}{3} \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + 7 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{4}{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{7\pi}{2} \] Vì $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, nên: \[ \frac{4}{3} \cdot (-1) + \frac{7\pi}{2} = -\frac{4}{3} + \frac{7\pi}{2} \] - Tại $x = 0$: \[ \frac{4}{3} \sin(3 \cdot 0) + 7 \cdot 0 = \frac{4}{3} \cdot 0 + 0 = 0 \] 4. Tính hiệu giữa giá trị tại cận trên và cận dưới: \[ \left(-\frac{4}{3} + \frac{7\pi}{2}\right) - 0 = -\frac{4}{3} + \frac{7\pi}{2} \] 5. Viết kết quả cuối cùng: \[ \int^{\frac{\pi}{2}}_0 (4\cos3x + 7) \, dx = -\frac{4}{3} + \frac{7\pi}{2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{7\pi}{2} - \frac{4}{3} \] Câu 11. Để tìm tọa độ tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-4x-2y+8z+17=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương. \[ x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 + 8z + 17 = 0 \] Ta thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 8z + 16) - 4 - 1 - 16 + 17 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 - 4 - 1 - 16 + 17 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 4 \] 2. Nhận diện phương trình mặt cầu: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), trong đó tâm của mặt cầu là \((a, b, c)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy tâm của mặt cầu là \((2, 1, -4)\) và bán kính là \(2\). Do đó, tọa độ tâm của mặt cầu là \(I(2, 1, -4)\). Đáp án: A. \(I(2, 1, -4)\). Câu 12. Để tính tích phân $\int^6_3(5x^5 - x - 5)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5x^5 - x - 5$. \[ \int (5x^5 - x - 5) dx = \int 5x^5 dx - \int x dx - \int 5 dx \] \[ = 5 \cdot \frac{x^6}{6} - \frac{x^2}{2} - 5x + C \] \[ = \frac{5x^6}{6} - \frac{x^2}{2} - 5x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định từ 3 đến 6. \[ \int^6_3 (5x^5 - x - 5) dx = \left[ \frac{5x^6}{6} - \frac{x^2}{2} - 5x \right]^6_3 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm đã tìm được. \[ = \left( \frac{5 \cdot 6^6}{6} - \frac{6^2}{2} - 5 \cdot 6 \right) - \left( \frac{5 \cdot 3^6}{6} - \frac{3^2}{2} - 5 \cdot 3 \right) \] \[ = \left( \frac{5 \cdot 46656}{6} - \frac{36}{2} - 30 \right) - \left( \frac{5 \cdot 729}{6} - \frac{9}{2} - 15 \right) \] \[ = \left( 38880 - 18 - 30 \right) - \left( 607.5 - 4.5 - 15 \right) \] \[ = (38880 - 48) - (607.5 - 19.5) \] \[ = 38832 - 588 \] \[ = 38244 \] Vậy đáp án đúng là C. 38244.