Câu 25: Cho cân tại A, có hai đường trung tuyến DB và CE cắt nhau tại G. Biết BD = CE a) Chứng minh GBC là tam giác cân. b) Chứng minh DG+EG >1/2BC

Câu 25: a) Ta có: - DB và CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC, nên D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB. - Vì BD = CE, nên tam giác BDC và CEB có: - DC = EB (vì D và E là trung điểm của AC và AB) - BC chung - BD = CE (theo đề bài) Do đó, tam giác BDC và CEB bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). Từ đó ta có: - Góc DBC = góc ECB Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến, nên G cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, tức là: - BG = 2GD - CG = 2GE Từ đây, ta thấy: - Tam giác BGC có BG = CG (vì BG = 2GD và CG = 2GE, và GD = GE do tam giác BDC và CEB bằng nhau) Vậy tam giác GBC là tam giác cân tại G. b) Ta cần chứng minh DG + EG > $\frac{1}{2}$BC. Trước tiên, ta biết rằng trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, tức là: - GD = $\frac{1}{3}$BD - GE = $\frac{1}{3}$CE Vì BD = CE, nên ta có: - GD = GE Ta cũng biết rằng trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Áp dụng vào tam giác BGC, ta có: - BG + GC > BC Vì BG = 2GD và GC = 2GE, nên ta có: - 2GD + 2GE > BC - 2(GD + GE) > BC - GD + GE > $\frac{1}{2}$BC Vậy ta đã chứng minh được DG + EG > $\frac{1}{2}$BC.