Câu 27: Cho cân tại K, có hai đường trung tuyến MB và NE cắt nhau tại G. Biết BM = NE b) Chứng minh BG+EG>1/2MN

Câu 27: Để chứng minh \(BG + EG > \frac{1}{2}MN\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\). - \(N\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AN = NB\). - \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(MB\) và \(NE\). 2. Áp dụng tính chất trọng tâm: - Trọng tâm \(G\) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \(2:1\), tức là \(BG = \frac{2}{3}BM\) và \(EG = \frac{2}{3}EN\). 3. Tính tổng \(BG + EG\): \[ BG + EG = \frac{2}{3}BM + \frac{2}{3}EN = \frac{2}{3}(BM + EN) \] 4. So sánh \(BM + EN\) với \(MN\): - Vì \(BM = NE\), ta có: \[ BM + EN = 2BM \] - Ta cần chứng minh \(2BM > MN\). 5. Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong \(\triangle AMN\): - Trong tam giác \(AMN\), ta có: \[ AM + AN > MN \] - Vì \(AM = MC\) và \(AN = NB\), ta có: \[ 2AM > MN \quad \text{và} \quad 2AN > MN \] - Kết hợp lại, ta có: \[ 2BM > MN \] 6. Kết luận: - Từ \(2BM > MN\), ta có: \[ \frac{2}{3}(2BM) > \frac{2}{3}MN \] - Điều này dẫn đến: \[ BG + EG > \frac{2}{3}MN \] - Vì \(\frac{2}{3}MN > \frac{1}{2}MN\), ta có: \[ BG + EG > \frac{1}{2}MN \] Vậy ta đã chứng minh được \(BG + EG > \frac{1}{2}MN\).