Giúp mình…

Câu 1. Muốn tìm nguyên hàm của $\int\frac{5}{18}e^x dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số e^x. Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số e^x. Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x + C$. Bước 2: Nhân hệ số $\frac{5}{18}$ vào nguyên hàm của $e^x$. $\int \frac{5}{18} e^x dx = \frac{5}{18} \int e^x dx = \frac{5}{18} e^x + C$. Vậy nguyên hàm của $\int \frac{5}{18} e^x dx$ là $\frac{5}{18} e^x + C$. Đáp án đúng là: $\textcircled{C}) \frac{5}{18} e^x + C$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -4 \), và \( x = -3 \). Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng diện tích S được tính bằng cách tích phân hàm \( f(x) \) từ \( x = -4 \) đến \( x = -3 \). Tuy nhiên, do \( f(x) \) có thể nhận giá trị âm, chúng ta cần lấy giá trị tuyệt đối của \( f(x) \) để đảm bảo diện tích luôn dương. Do đó, diện tích S sẽ được tính theo công thức: \[ S = \int_{-4}^{-3} |f(x)| \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: \( S = \int_{-4}^{-3} |f(x)| \, dx \) Đây là công thức đúng vì nó tính diện tích bằng cách tích phân giá trị tuyệt đối của \( f(x) \) từ \( x = -4 \) đến \( x = -3 \). - Đáp án B: \( S = \pi \int_{-4}^{-3} [f(x)]^2 \, dx \) Công thức này sai vì nó áp dụng cho diện tích của một hình tròn hoặc một phần của một hình tròn, không liên quan đến diện tích giới hạn bởi các đường thẳng và hàm số \( f(x) \). - Đáp án C: \( S = \pi \int_{-4}^{-2} f(x) \, dx \) Công thức này sai vì nó áp dụng cho diện tích của một hình tròn hoặc một phần của một hình tròn, không liên quan đến diện tích giới hạn bởi các đường thẳng và hàm số \( f(x) \). Hơn nữa, cận trên của tích phân là \( x = -2 \), không phải \( x = -3 \). - Đáp án D: \( S = \int_{-4}^{-2} f(x) \, dx \) Công thức này sai vì cận trên của tích phân là \( x = -2 \), không phải \( x = -3 \). Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{A}.~S = \int_{-4}^{-3} |f(x)| \, dx} \] Câu 3. Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{10x - 7}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 2$, $x = 4$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay: - Diện tích bề mặt của khối tròn xoay được xác định bởi công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong đó, $f(x) = \sqrt{10x - 7}$, $a = 2$, và $b = 4$. 2. Tính tích phân: - Ta cần tính tích phân $\int_{2}^{4} (\sqrt{10x - 7})^2 \, dx$. - $(\sqrt{10x - 7})^2 = 10x - 7$. - Do đó, tích phân trở thành: \[ \int_{2}^{4} (10x - 7) \, dx \] 3. Tính tích phân cụ thể: - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{2}^{4} 10x \, dx - \int_{2}^{4} 7 \, dx \] - Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int_{2}^{4} 10x \, dx = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4} = 10 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = 10 \left( \frac{16}{2} - \frac{4}{2} \right) = 10 \times 6 = 60 \] \[ \int_{2}^{4} 7 \, dx = 7 \left[ x \right]_{2}^{4} = 7 (4 - 2) = 7 \times 2 = 14 \] - Kết hợp lại: \[ \int_{2}^{4} (10x - 7) \, dx = 60 - 14 = 46 \] 4. Nhân với $\pi$: - Thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 46 = 46\pi \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là $46\pi$. Đáp án đúng là: $B.~46\pi$. Câu 4. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng tuổi và số người tương ứng trong mỗi khoảng. - Tính trung điểm của mỗi khoảng tuổi. - Nhân số người với trung điểm của mỗi khoảng tuổi để tìm tổng số người nhân với trung điểm. - Chia tổng này cho tổng số người để tìm trung bình cộng. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với số người trong mỗi khoảng. - Cộng tất cả các kết quả này lại. - Chia tổng này cho tổng số người để tìm phương sai. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tìm trung bình cộng | Khoảng tuổi | Số người | Trung điểm | Số người × Trung điểm | |------------|----------|------------|-----------------------| | (20; 27) | 8 | 23.5 | 8 × 23.5 = 188 | | (27; 34) | 7 | 30.5 | 7 × 30.5 = 213.5 | | (34; 41) | 9 | 37.5 | 9 × 37.5 = 337.5 | | (41; 48) | 10 | 44.5 | 10 × 44.5 = 445 | | (48; 55) | 11 | 51.5 | 11 × 51.5 = 566.5 | Tổng số người: 8 + 7 + 9 + 10 + 11 = 45 Tổng số người × Trung điểm: 188 + 213.5 + 337.5 + 445 + 566.5 = 1750.5 Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{1750.5}{45} = 38.9 \] Bước 2: Tính phương sai | Khoảng tuổi | Số người | Trung điểm | $(x_i - \bar{x})^2$ | Số người × $(x_i - \bar{x})^2$ | |------------|----------|------------|---------------------|-------------------------------| | (20; 27) | 8 | 23.5 | $(23.5 - 38.9)^2 = 234.09$ | 8 × 234.09 = 1872.72 | | (27; 34) | 7 | 30.5 | $(30.5 - 38.9)^2 = 70.56$ | 7 × 70.56 = 493.92 | | (34; 41) | 9 | 37.5 | $(37.5 - 38.9)^2 = 1.96$ | 9 × 1.96 = 17.64 | | (41; 48) | 10 | 44.5 | $(44.5 - 38.9)^2 = 31.36$ | 10 × 31.36 = 313.6 | | (48; 55) | 11 | 51.5 | $(51.5 - 38.9)^2 = 158.76$ | 11 × 158.76 = 1746.36 | Tổng số người × $(x_i - \bar{x})^2$: 1872.72 + 493.92 + 17.64 + 313.6 + 1746.36 = 4444.24 Phương sai: \[ s^2 = \frac{4444.24}{45} = 98.76 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{98.76} \approx 9.94 \] Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 9.94. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là: D. 2,41 Như vậy, đáp án đúng là D. 2,41. Câu 5. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C(-6; 8; 0)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{u} = (-8; 7; 2)\) làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = -6 - 8t \\ y = 8 + 7t \\ z = 0 + 2t \end{cases} \] Từ đây, ta có thể chuyển đổi phương trình tham số sang dạng phương trình đoạn thẳng bằng cách chia mỗi phương trình cho hệ số tương ứng của \(t\): \[ \frac{x + 6}{-8} = \frac{y - 8}{7} = \frac{z}{2} \] Do đó, phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x + 6}{-8} = \frac{y - 8}{7} = \frac{z}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{x + 6}{-8} = \frac{y - 8}{7} = \frac{z}{2} \] Câu 6. Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{-3x-3}{4x+5}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $y=\frac{-3x-3}{4x+5}$ có mẫu số là $4x + 5$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ 4x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{4} \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \neq -\frac{5}{4}$. 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ được xác định bằng giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$). Ta tính: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x - 3}{4x + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x - 3}{4x + 5} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3 - \frac{3}{x}}{4 + \frac{5}{x}} \] Khi $x \to \pm \infty$, các phân số $\frac{3}{x}$ và $\frac{5}{x}$ sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3 - \frac{3}{x}}{4 + \frac{5}{x}} = \frac{-3 - 0}{4 + 0} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \] Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = -\frac{3}{4}$. Đáp án: $\textcircled{D.}~y=-\frac34.$ Câu 7. Để giải bất phương trình $\log_3(x-17) > 4$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-17)$, ta cần đảm bảo rằng $x-17 > 0$. Do đó: \[ x > 17 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-17) > 4$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ x - 17 > 3^4 \] - Tính $3^4$: \[ 3^4 = 81 \] - Vậy ta có: \[ x - 17 > 81 \] - Giải phương trình này: \[ x > 81 + 17 \] \[ x > 98 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Điều kiện $x > 17$ đã được thỏa mãn trong quá trình giải bất phương trình $x > 98$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(x-17) > 4$ là: \[ S = (98; +\infty) \] Đáp án đúng là: $D.~S=(98;+\infty).$