Giải hộ mình với ạ xin cảm ơn!

Câu 1. a) Trong hộp có 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20. Số thẻ đánh số chẵn là 10 thẻ (2, 4, 6, ..., 20). b) Số cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ trong hộp là: \[ C^2_{20} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] c) Số thẻ mang số lẻ là 10 thẻ (1, 3, 5, ..., 19). Số cách lấy đồng thời 2 thẻ mang số lẻ từ trong hộp là: \[ C^2_{10} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] d) Để tích của hai thẻ chia hết cho 3, ít nhất một trong hai thẻ phải là bội của 3. Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18 (6 số). Số cách chọn 2 thẻ mà tích của chúng chia hết cho 3: - Chọn 1 thẻ là bội của 3 và 1 thẻ bất kỳ từ 14 thẻ còn lại (không phải bội của 3): \[ 6 \times 14 = 84 \] - Chọn cả 2 thẻ đều là bội của 3: \[ C^2_{6} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Tổng số cách chọn là: \[ 84 + 15 = 99 \] Đáp số: a) 10 thẻ b) 190 cách c) 45 cách d) 99 cách Câu 2. a) Số cách xếp bốn bạn thành một hàng dọc là: \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ (cách)} \] b) Số cách xếp bốn bạn thành một hàng dọc sao cho bạn A luôn đứng đầu là: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ (cách)} \] c) Số cách xếp bốn bạn thành một hàng dọc sao cho bạn A luôn đứng đầu và bạn B luôn đứng cuối là: \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \text{ (cách)} \] d) Số cách xếp bốn bạn thành một hàng dọc sao cho A, B luôn đứng liên tiếp nhau: - Xem A và B như một cặp, ta có 3 cặp (A-B, C, D) hoặc (B-A, C, D). - Số cách xếp 3 cặp này là: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ (cách)} \] - Mỗi cặp A-B hoặc B-A có 2 cách xếp (A-B hoặc B-A). - Vậy tổng số cách xếp là: \[ 6 \times 2 = 12 \text{ (cách)} \] Đáp số: a) 24 cách b) 6 cách c) 2 cách d) 12 cách Câu 3. Trong khai triển $(x+y)^4$, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một: a) Có 4 số hạng. - Khai triển $(x+y)^4$ theo công thức nhị thức Newton có dạng: \[ (x+y)^4 = C^0_4 x^4 y^0 + C^1_4 x^3 y^1 + C^2_4 x^2 y^2 + C^3_4 x^1 y^3 + C^4_4 x^0 y^4 \] Như vậy, có 5 số hạng chứ không phải 4 số hạng. Phát biểu này sai. b) Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức trên là $C^k_5 x^k y^{4-k}$. - Số hạng tổng quát của khai triển $(x+y)^n$ là $C^k_n x^{n-k} y^k$. Trong trường hợp này, $n=4$, nên số hạng tổng quát là $C^k_4 x^{4-k} y^k$. Phát biểu này sai vì nó đã viết sai chỉ số của tổ hợp và sai chỉ số của biến $y$. c) Hệ số của số hạng chứa $x^2 y^2$ là 6. - Số hạng chứa $x^2 y^2$ trong khai triển $(x+y)^4$ là $C^2_4 x^2 y^2$. Ta tính $C^2_4$: \[ C^2_4 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Hệ số của số hạng chứa $x^2 y^2$ đúng là 6. Phát biểu này đúng. d) Tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức trên là 16. - Để tìm tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển $(x+y)^4$, ta thay $x=1$ và $y=1$ vào biểu thức: \[ (1+1)^4 = 2^4 = 16 \] Tổng các hệ số đúng là 16. Phát biểu này đúng. Kết luận: - Phát biểu a) sai. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) đúng. Câu 1. Để lập một tổ công tác gồm 5 người với yêu cầu có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và ít nhất 2 nữ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chọn tổ trưởng nam: Có 10 nam công nhân, do đó có 10 cách chọn tổ trưởng nam. 2. Chọn tổ phó nam: Sau khi đã chọn tổ trưởng nam, còn lại 9 nam công nhân. Do đó, có 9 cách chọn tổ phó nam. 3. Chọn ít nhất 2 nữ: Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Chọn 2 nữ và 1 nam khác. - Số cách chọn 2 nữ từ 5 nữ là $\binom{5}{2} = 10$. - Số cách chọn 1 nam từ 8 nam còn lại (sau khi đã chọn tổ trưởng và tổ phó) là $\binom{8}{1} = 8$. - Tổng số cách trong trường hợp này là $10 \times 8 = 80$. - Trường hợp 2: Chọn 3 nữ. - Số cách chọn 3 nữ từ 5 nữ là $\binom{5}{3} = 10$. - Tổng số cách trong trường hợp này là 10. 4. Tổng hợp các trường hợp: - Tổng số cách chọn ít nhất 2 nữ là $80 + 10 = 90$. 5. Tổng số cách lập tổ công tác: - Tổng số cách chọn tổ trưởng nam, tổ phó nam và ít nhất 2 nữ là $10 \times 9 \times 90 = 8100$. Vậy, có 8100 cách lập một tổ công tác theo yêu cầu. Câu 2. Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển $(x-1)^5$. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, $a = x$, $b = -1$, và $n = 5$. Do đó, ta có: \[ (x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-1)^k \] Ta sẽ viết ra từng số hạng của khai triển này: \[ (x - 1)^5 = \binom{5}{0} x^{5-0} (-1)^0 + \binom{5}{1} x^{5-1} (-1)^1 + \binom{5}{2} x^{5-2} (-1)^2 + \binom{5}{3} x^{5-3} (-1)^3 + \binom{5}{4} x^{5-4} (-1)^4 + \binom{5}{5} x^{5-5} (-1)^5 \] Tính toán từng số hạng cụ thể: \[ = \binom{5}{0} x^5 (-1)^0 + \binom{5}{1} x^4 (-1)^1 + \binom{5}{2} x^3 (-1)^2 + \binom{5}{3} x^2 (-1)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-1)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-1)^5 \] \[ = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot x^3 \cdot 1 + 10 \cdot x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \] \[ = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 \] Số hạng không chứa $x$ trong khai triển trên là $-1$. Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển $(x-1)^5$ là $\boxed{-1}$. Câu 3. Để tìm hệ số của \( x^5 \) trong khai triển \( P(x) = x(1 - 2x)^5 + x^6\left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Khai triển \( (1 - 2x)^5 \) Ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng cho \( (1 - 2x)^5 \): \[ (1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 1^{5-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (-2)^k x^k \] Bước 2: Nhân với \( x \) \[ x(1 - 2x)^5 = x \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (-2)^k x^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (-2)^k x^{k+1} \] Bước 3: Tìm hệ số của \( x^5 \) trong \( x(1 - 2x)^5 \) Trong tổng trên, ta cần tìm hệ số của \( x^5 \). Điều này xảy ra khi \( k + 1 = 5 \), tức là \( k = 4 \). Hệ số của \( x^5 \) trong \( x(1 - 2x)^5 \) là: \[ \binom{5}{4} (-2)^4 = 5 \cdot 16 = 80 \] Bước 4: Khai triển \( \left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 \) Lại sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ \left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} \left(\frac{3}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 3^k x^{-k} \] Bước 5: Nhân với \( x^6 \) \[ x^6 \left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 = x^6 \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 3^k x^{-k} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 3^k x^{6-k} \] Bước 6: Tìm hệ số của \( x^5 \) trong \( x^6 \left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 \) Trong tổng trên, ta cần tìm hệ số của \( x^5 \). Điều này xảy ra khi \( 6 - k = 5 \), tức là \( k = 1 \). Hệ số của \( x^5 \) trong \( x^6 \left(1 + \frac{3}{x}\right)^4 \) là: \[ \binom{4}{1} 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \] Bước 7: Cộng các hệ số tìm được Hệ số của \( x^5 \) trong \( P(x) \) là tổng của hai hệ số tìm được ở trên: \[ 80 + 12 = 92 \] Đáp số Hệ số của \( x^5 \) trong khai triển \( P(x) \) là \( 92 \). Câu 4. Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển biểu thức $x^2(x-3)^3$ thành đa thức, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Khai triển $(x-3)^3$ bằng công thức nhị thức Newton: \[ (x-3)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} (-3)^k \] Ta có: \[ (x-3)^3 = \binom{3}{0} x^3 (-3)^0 + \binom{3}{1} x^2 (-3)^1 + \binom{3}{2} x^1 (-3)^2 + \binom{3}{3} x^0 (-3)^3 \] \[ = x^3 - 3 \cdot 3 x^2 + 3 \cdot 9 x - 27 \] \[ = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \] Bước 2: Nhân kết quả vừa tìm được với $x^2$: \[ x^2(x-3)^3 = x^2(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) \] \[ = x^2 \cdot x^3 - x^2 \cdot 9x^2 + x^2 \cdot 27x - x^2 \cdot 27 \] \[ = x^5 - 9x^4 + 27x^3 - 27x^2 \] Bước 3: Xác định hệ số của số hạng chứa $x^4$: Trong biểu thức $x^5 - 9x^4 + 27x^3 - 27x^2$, số hạng chứa $x^4$ là $-9x^4$. Vậy hệ số của số hạng này là $-9$. Đáp số: Hệ số của số hạng chứa $x^4$ là $-9$. Câu 1: Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ về các khái niệm liên quan đến xác suất: - \( P(\emptyset) = 0 \): Xác suất của tập rỗng luôn bằng 0. - \( P(A) = 1 \): Nếu \( A \) là toàn bộ không gian mẫu, thì xác suất của \( A \) sẽ bằng 1. - \( 0 \leq P(A) \leq 1 \): Xác suất của bất kỳ biến cố nào cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 1. - \( P(\widehat{A}) = 1 - P(A) \): Xác suất của biến cố đối bù của \( A \) bằng 1 trừ đi xác suất của \( A \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( P(\emptyset) = 0 \): Đúng, vì xác suất của tập rỗng luôn bằng 0. B. \( P(A) = 1 \): Đúng, nếu \( A \) là toàn bộ không gian mẫu, thì xác suất của \( A \) sẽ bằng 1. C. \( 0 \leq P(A) \leq 1 \): Đúng, vì xác suất của bất kỳ biến cố nào cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 1. D. \( P(\widehat{A}) = 1 + P(A) \): Sai, vì xác suất của biến cố đối bù của \( A \) phải là \( P(\widehat{A}) = 1 - P(A) \), không phải \( 1 + P(A) \). Vậy khẳng định sai là: \[ D.~P(\widehat{A}) = 1 + P(A) \] Đáp án: D. Câu 2: Khi gieo ngẫu nhiên một con súc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mỗi kết quả này đều có xác suất bằng nhau. Số kết quả mong muốn là mặt 6 chấm xuất hiện, tức là chỉ có 1 kết quả mong muốn. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện được tính bằng cách chia số kết quả mong muốn cho tổng số kết quả có thể xảy ra: \[ P(\text{6 chấm}) = \frac{\text{số kết quả mong muốn}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{1}{6} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{6} \] Câu 3: Khi gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, ta có tổng cộng có \(6 \times 6 = 36\) kết quả có thể xảy ra. Ta sẽ liệt kê các trường hợp mà tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc không vượt quá 5: - Tổng là 2: (1,1) - Tổng là 3: (1,2), (2,1) - Tổng là 4: (1,3), (2,2), (3,1) - Tổng là 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) Như vậy, có tổng cộng 10 trường hợp thỏa mãn điều kiện trên. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc không vượt quá 5 là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{5}{18}. \] Câu 4: Khi gieo một đồng tiền hai lần liên tiếp, ta có thể có các kết quả sau: 1. Mặt ngửa - Mặt ngửa (HH) 2. Mặt ngửa - Mặt sấp (HT) 3. Mặt sấp - Mặt ngửa (TH) 4. Mặt sấp - Mặt sấp (TT) Như vậy, có tổng cộng 4 kết quả có thể xảy ra. Trong các kết quả này, ta thấy rằng chỉ có một kết quả không có mặt sấp xuất hiện, đó là HH (Mặt ngửa - Mặt ngửa). Do đó, số kết quả có ít nhất một mặt sấp xuất hiện là: 4 (tổng số kết quả) - 1 (kết quả không có mặt sấp) = 3 Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là: \[ \frac{\text{số kết quả có ít nhất một mặt sấp}}{\text{tổng số kết quả}} = \frac{3}{4} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{3}{4} \] Câu 5: Bộ bài 52 lá có 4 chất: bích, cơ, rô, tép. Mỗi chất có 13 lá bài. Số lượng lá bích trong bộ bài là 13 lá. Xác suất để rút ra một lá bích từ bộ bài 52 lá được tính bằng cách chia số lượng lá bích cho tổng số lá bài trong bộ bài. Xác suất để được lá bích là: \[ \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{4} \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của các sự kiện liên quan đến việc chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đựng 4 bi xanh và 6 bi đỏ. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Bước 2: Tính số cách chọn 2 viên bi cùng màu Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh: \[ C_{4}^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ: \[ C_{6}^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Bước 3: Tính số cách chọn 2 viên bi khác màu Số cách chọn 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ: \[ C_{4}^1 \times C_{6}^1 = 4 \times 6 = 24 \] Bước 4: Tính xác suất của các sự kiện Xác suất chọn 2 viên bi cùng màu: \[ P(\text{cùng màu}) = \frac{\text{số cách chọn 2 viên bi cùng màu}}{\text{tổng số cách chọn 2 viên bi}} = \frac{6 + 15}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \] Xác suất chọn 2 viên bi khác màu: \[ P(\text{khiến màu}) = \frac{\text{số cách chọn 2 viên bi khác màu}}{\text{tổng số cách chọn 2 viên bi}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \] Kết luận - Xác suất chọn 2 viên bi cùng màu là $\frac{7}{15}$. - Xác suất chọn 2 viên bi khác màu là $\frac{8}{15}$.