Cho phương trình bậc hai: x^2 - 2mx - m - 2 = 0 (1) a, Giải phương trình khi m = 1. b, Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 sao cho giá trị biểu thức M = x1^2 + x2^2 nhỏ nhất.

a) Giải phương trình khi m = 1: Thay m = 1 vào phương trình (1), ta được: \[ x^2 - 2x - 1 - 2 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = -1 \). b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) sao cho giá trị biểu thức \( M = x_1^2 + x_2^2 \) nhỏ nhất: Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m \] \[ x_1 \cdot x_2 = -m - 2 \] Biểu thức \( M = x_1^2 + x_2^2 \) có thể viết lại dưới dạng: \[ M = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị theo định lý Vi-et vào: \[ M = (2m)^2 - 2(-m - 2) \] \[ M = 4m^2 + 2m + 4 \] Để \( M \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( m \) làm cho \( 4m^2 + 2m + 4 \) nhỏ nhất. Ta sử dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của một tam thức bậc hai \( f(m) = 4m^2 + 2m + 4 \). Đỉnh của parabol \( f(m) = 4m^2 + 2m + 4 \) nằm tại: \[ m = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4} \] Vậy giá trị của \( m \) để \( M \) nhỏ nhất là \( m = -\frac{1}{4} \). Đáp số: a) Nghiệm của phương trình khi \( m = 1 \) là \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = -1 \). b) Giá trị của \( m \) để \( M \) nhỏ nhất là \( m = -\frac{1}{4} \).