Ầu sịt ehjssjs

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = 2^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 2^x \): 1. Xác định \( a = 2 \). 2. Tính \( \ln 2 \). Do đó, nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Câu 2: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b,$ ta sử dụng công thức tích phân để tính diện tích. Diện tích $S$ được tính theo công thức: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do: - Khi tính diện tích giữa đồ thị hàm số và trục hoành, ta cần đảm bảo rằng diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số $f(x)$ có thể nhận giá trị âm hay dương. - Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ có thể cho kết quả âm nếu $f(x)$ nhận giá trị âm trong khoảng $(a, b).$ - Để đảm bảo diện tích luôn dương, ta sử dụng giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ trong tích phân, tức là $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx.$ Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 3: Để tính số trung bình của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi khoảng: - Khoảng [5; 7): Trung điểm là $\frac{5 + 7}{2} = 6$ - Khoảng [7; 9): Trung điểm là $\frac{7 + 9}{2} = 8$ - Khoảng [9; 11): Trung điểm là $\frac{9 + 11}{2} = 10$ - Khoảng [11; 13): Trung điểm là $\frac{11 + 13}{2} = 12$ - Khoảng [13; 15): Trung điểm là $\frac{13 + 15}{2} = 14$ 2. Nhân trung điểm của mỗi khoảng với số lượng ngày tương ứng: - Khoảng [5; 7): $6 \times 2 = 12$ - Khoảng [7; 9): $8 \times 7 = 56$ - Khoảng [9; 11): $10 \times 7 = 70$ - Khoảng [11; 13): $12 \times 3 = 36$ - Khoảng [13; 15): $14 \times 1 = 14$ 3. Tính tổng của các giá trị đã nhân: \[ 12 + 56 + 70 + 36 + 14 = 188 \] 4. Tính tổng số ngày: \[ 2 + 7 + 7 + 3 + 1 = 20 \] 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu: \[ \text{Số trung bình} = \frac{188}{20} = 9.4 \] Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên là 9.4, thuộc khoảng $[9; 11)$. Đáp án: B. $[9; 11)$. Câu 4: Để tìm phương trình đường thẳng MN trong không gian Oxyz, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là $\overrightarrow{MN}$. Tọa độ của điểm M là $(1, 2, 1)$ và tọa độ của điểm N là $(3, 1, -2)$. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MN} = (3 - 1, 1 - 2, -2 - 1) = (2, -1, -3) \] Phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}$ có dạng: \[ \frac{x - x_M}{a} = \frac{y - y_M}{b} = \frac{z - z_M}{c} \] trong đó $(x_M, y_M, z_M)$ là tọa độ của điểm M và $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}$. Thay vào ta có: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3} \] Do đó, phương trình đường thẳng MN là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-3} \] Câu 5: Để xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm các giá trị của \( x \) mà tại đó hàm số \( f(x) \) tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng khi \( x \) tiến đến chúng từ hai phía. Trong bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Khi \( x \) tiến đến \(-2\) từ bên trái (\( x \to -2^- \)), giá trị của \( y \) tiến đến \( +\infty \). - Khi \( x \) tiến đến \(-2\) từ bên phải (\( x \to -2^+ \)), giá trị của \( y \) tiến đến \( -\infty \). Như vậy, \( x = -2 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x=-2. \] Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta biết rằng: \[ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \] Áp dụng tính chất này vào bài toán, ta có: \[ \log_4(4a) = \log_4(4 \cdot a) \] Theo tính chất trên, ta có thể tách biểu thức logarit thành tổng của hai biểu thức logarit: \[ \log_4(4 \cdot a) = \log_4 4 + \log_4 a \] Ta biết rằng: \[ \log_4 4 = 1 \] Vậy: \[ \log_4(4a) = 1 + \log_4 a \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~1 + \log_4 a \] Câu 7: Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$ với phương trình chuẩn, ta thấy: - $a = 2$ - $b = -1$ - $c = 3$ Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ là $(2, -1, 3)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(2,-1;3). \] Câu 8: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC. 1. Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABC. Đặc biệt, SA vuông góc với AB và SA vuông góc với BC. 2. Ta xét tam giác SAB: - SA vuông góc với AB (theo điều kiện đã cho). - Do đó, tam giác SAB là tam giác vuông tại A. 3. Ta xét tam giác SAC: - SA vuông góc với AC (vì SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABC). - Do đó, tam giác SAC là tam giác vuông tại A. 4. Ta xét tam giác SBC: - Vì SA vuông góc với BC (theo điều kiện đã cho) và SA nằm trong mặt phẳng (SAC), nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAC). - Mặt khác, SC nằm trong mặt phẳng (SAC), do đó BC vuông góc với SC. - Do đó, tam giác SBC là tam giác vuông tại C. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng tất cả các mặt bên của hình chóp S.ABC đều là các tam giác vuông. Cụ thể: - Tam giác SAB là tam giác vuông tại A. - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A. - Tam giác SBC là tam giác vuông tại C. Vậy khẳng định đúng là: Tất cả các mặt bên của hình chóp S.ABC đều là các tam giác vuông.